Đây là một bài toán hình học khá thú vị. Tôi sẽ hướng dẫn bạn cách giải chi tiết.

Bước 1: Vẽ hình và xác định các yếu tố đã cho

Vẽ hình thang vuông ABCD với ∠A=∠B=90∘.
O là trung điểm của AB.
∠COD=90∘.
Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AB. Bán kính của đường tròn này là R=OA=OB.
Bước 2: Phân tích yêu cầu bài toán

Để chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB, ta cần chứng minh rằng khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng CD bằng bán kính của đường tròn đó. Tức là, nếu ta gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên CD, ta phải chứng minh OH=OA.

Bước 3: Hướng chứng minh

Ta sẽ sử dụng các tính chất của hình thang vuông và tam giác vuông để chứng minh điều này.

Từ O, kẻ OH⊥CD tại H.
Kẻ thêm hai đường thẳng từ O: OM⊥BC tại M và ON⊥AD tại N.
Ta sẽ chứng minh OH chính là đường trung bình của hình thang vuông ADCB (điều này không chính xác, nhưng ý tưởng là liên hệ OH với AD và BC).
Cách tiếp cận khác: sử dụng các tam giác vuông OAD, OBC và COD.
Bước 4: Thực hiện chứng minh

Gọi AD = a và BC = b.
Tam giác OAD và OBC:

Trong hình thang vuông ABCD, ta có AD∥BC.
Do O là trung điểm của AB, ta có OA=OB=R.
Xét tam giác vuông OAD (∠OAD=90∘) và tam giác vuông OBC (∠OBC=90∘).
Theo định lý Pythagoras, ta có:

OD2=OA2+AD2=R2+a2
OC2=OB2+BC2=R2+b2
Tam giác COD:

Ta có ∠COD=90∘.
Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông COD, ta có:

CD2=OC2+OD2=(R2+b2)+(R2+a2)=2R2+a2+b2 (1)
Tìm một biểu thức khác cho CD2:

Kẻ thêm đường thẳng DE∥AB (E nằm trên BC). Tứ giác ABED là hình chữ nhật.
Khi đó, DE=AB=2R và AE=BD.
CE=BC−BE=BC−AD=b−a (giả sử b≥a).
Trong tam giác vuông DEC, ta có:

CD2=DE2+CE2=(2R)2+(b−a)2=4R2+b2−2ab+a2 (2)
So sánh hai biểu thức của CD2:

Từ (1) và (2), ta có:

2R2+a2+b2=4R2+b2−2ab+a2
Rút gọn hai vế, ta được:

2R2=4R2−2ab
2ab=2R2
ab=R2
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COD:

Trong tam giác vuông COD, kẻ OH⊥CD tại H.
Theo hệ thức lượng, ta có:

OH21​=OC21​+OD21​
OH21​=R2+b21​+R2+a21​=(R2+b2)(R2+a2)(R2+a2)+(R2+b2)​
OH21​=R4+R2a2+R2b2+a2b22R2+a2+b2​
Thay thế R2=ab vào biểu thức trên:

R4=(ab)2=a2b2.
R2a2+R2b2=ab⋅a2+ab⋅b2=a3b+ab3=ab(a2+b2)=R2(a2+b2)
Vậy mẫu số là: R4+R2a2+R2b2+a2b2=a2b2+R2(a2+b2)+a2b2=R2(a2+b2)+2a2b2
Hmm, cách này có vẻ phức tạp. Ta hãy thử một cách khác đơn giản hơn.
Cách chứng minh đơn giản hơn:
Vẫn từ ab=R2.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên CD. Ta cần chứng minh OH=R.
Xét hai tam giác vuông OAD và OHD. Đây không phải là cách hay.
Sử dụng diện tích:

SCOD​=21​OC⋅OD (vì ∠COD=90∘).
SCOD​=21​CD⋅OH.
Do đó, OH=CDOC⋅OD​.
Chứng minh △DAO∼△BOC (không đúng).
Sử dụng phương pháp tọa độ (dành cho học sinh cấp 3):

Đặt A(-R, 0), B(R, 0) và O(0, 0).
D có tọa độ (-R, yD​) và C có tọa độ (R, yC​). Vì AD và BC vuông góc với AB.
Vectơ OD =(−R,yD​), OC =(R,yC​).
Do ∠COD=90∘, ta có OD ⋅OC =0.
⇔(−R)⋅R+yD​⋅yC​=0
⇔−R2+yD​yC​=0⇔yD​yC​=R2.
Vì yD​=AD=a và yC​=BC=b.
Do đó, ab=R2.
Phương trình đường thẳng CD đi qua C(R, b) và D(-R, a) là:

−R−Rx−R​=a−by−b​
−2Rx−R​=a−by−b​
(a−b)(x−R)=−2R(y−b)
(a−b)x−(a−b)R=−2Ry+2Rb
(a−b)x+2Ry−(a−b)R−2Rb=0
Khoảng cách từ tâm O(0,0) đến đường thẳng CD là:

d(O,CD)=(a−b)2+(2R)2 ​∣(a−b)⋅0+2R⋅0−(a−b)R−2Rb∣​
d(O,CD)=a2−2ab+b2+4R2 ​∣−aR+bR−2Rb∣​
d(O,CD)=a2−2ab+b2+4ab ​∣−aR−bR∣​ (Vì R2=ab, nên 4R2=4ab)
d(O,CD)=a2+2ab+b2 ​∣−R(a+b)∣​
d(O,CD)=(a+b)2 ​R(a+b)​=a+bR(a+b)​=R.
Vì khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng CD bằng bán kính R, nên CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
Kết luận:

Dựa vào tính chất của tam giác vuông COD và hình thang vuông ABCD, ta chứng minh được R2=AD⋅BC.
Khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng CD bằng R.
Do đó, CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
Lưu ý: Bài toán này có thể giải bằng phương pháp hình học thuần túy (không dùng tọa độ) nhưng sẽ phức tạp hơn. Cách giải bằng phương pháp tọa độ là cách ngắn gọn và rõ ràng nhất.

Bạn có thể tham khảo cách giải hình học thuần túy sau:

Kẻ OH⊥CD.
Ta có OA=OB=R.
OH là đường cao của tam giác vuông COD.
Trong tam giác vuông COD, ta có OH21​=OC21​+OD21​.
OC2=R2+BC2 và OD2=R2+AD2.
CD2=OC2+OD2=2R2+AD2+BC2.
Mặt khác, CD2=AB2+(BC−AD)2=(2R)2+(BC−AD)2=4R2+BC2−2AD⋅BC+AD2.
Suy ra 2R2+AD2+BC2=4R2+BC2−2AD⋅BC+AD2.
Rút gọn: 2R2=4R2−2AD⋅BC⇒2AD⋅BC=2R2⇒AD⋅BC=R2.
Bây giờ, ta chứng minh △ODA đồng dạng với △BCO không đúng, nhưng có thể chứng minh △DOA đồng dạng với một tam giác khác.
Xét △DAO và △COB. Ta có OBAD​=RAD​ và BCOA​=BCR​.
Từ AD⋅BC=R2, ta có RAD​=BCR​.
Do đó OBAD​=BCOA​.
Lại có ∠A=∠B=90∘.
Suy ra △DOA và △COB không đồng dạng.
Ta có thể chứng minh OH=R bằng cách sử dụng các tam giác đồng dạng khác.
Kẻ OM⊥CD tại M. Ta cần chứng minh OM=R.
Ta sẽ chứng minh △OAD đồng dạng với △DOC. (Không đúng)
Cách giải hình học thuần túy (tóm tắt):

Kẻ đường cao OH của tam giác vuông COD (H∈CD). Ta cần chứng minh OH=R=21​AB.
Sử dụng định lý Pitago, ta có: CD2=OD2+OC2=(OA2+AD2)+(OB2+BC2)=2R2+AD2+BC2.
Kẻ CK⊥AD tại K. Ta có CD2=CK2+DK2=AB2+(AD−BC)2=(2R)2+(AD−BC)2=4R2+AD2−2AD⋅BC+BC2.
Từ hai biểu thức của CD2, suy ra 2R2+AD2+BC2=4R2+AD2−2AD⋅BC+BC2, do đó 2R2=2AD⋅BC⇒AD⋅BC=R2.
SCOD​=SAOD​+SBOC​−SABC​ (không phải).
SABCD​=21​(AD+BC)AB=21​(AD+BC)2R=R(AD+BC).
SABCD​=SAOD​+SBOC​+SCOD​=21​OA⋅AD+21​OB⋅BC+21​OC⋅OD (không đúng vì SAOD​ không bằng 21​OA⋅AD).
SAOD​=21​OA⋅AD=21​R⋅AD.
SBOC​=21​OB⋅BC=21​R⋅BC.
SCOD​=21​CD⋅OH.
SABCD​=21​AB(AD+BC)=21​(2R)(AD+BC)=R(AD+BC).
SABCD​=SAOD​+SBOC​+SCOD​+SAOB​ (Không đúng).
SABCD​=SAOD​+SBOC​+SCOD​.
R(AD+BC)=21​R(AD+BC)+21​CD⋅OH.
21​R(AD+BC)=21​CD⋅OH⇒OH=CDR(AD+BC)​.
CD2=2R2+AD2+BC2=2AD⋅BC+AD2+BC2=(AD+BC)2.
CD=AD+BC.
Thay vào biểu thức của OH: OH=AD+BCR(AD+BC)​=R.
Vậy OH=R.
Đây là cách giải hình học thuần túy. Nó đơn giản hơn và không cần tọa độ.
 

Để chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB, ta cần chứng minh rằng khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng CD bằng bán kính của đường tròn.

Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó, I là tâm của đường tròn đường kính AB và bán kính của đường tròn là R=2AB​. Ta cần chứng minh rằng khoảng cách từ I đến CD bằng R.

Kẻ IH vuông góc với CD tại H. Ta cần chứng minh IH = R.

Xét hình thang vuông ABCD có:

∠A=∠B=90∘
O là trung điểm của AB (đề bài cho là O nhưng thực tế là I, ta sẽ sửa lại là I cho phù hợp với cách gọi tâm đường tròn). Vậy I là trung điểm AB.
∠CID=90∘ (đề bài cho là ∠CD, có lẽ ý muốn nói ∠CID=90∘ hoặc ∠COD=90∘. Với O là trung điểm AB, ∠COD=90∘ là dữ kiện quan trọng). Ta sẽ giả sử ∠COD=90∘ (với O là trung điểm AB).
Vẽ IM vuông góc với AD tại M và IK vuông góc với BC tại K. Vì I là trung điểm của AB và ABCD là hình thang vuông, nên IM và IK là các đường trung bình của hình thang. IM=2AD​ và IK=2BC​.

Ta có △ADO và △BCO vuông tại A và B. Vì O là trung điểm AB, nên OA=OB. Xét △ADO và △BCO: OD2=OA2+AD2 OC2=OB2+BC2

Vì ∠COD=90∘, áp dụng định lý Pytago cho △COD: CD2=OC2+OD2 CD2=(OB2+BC2)+(OA2+AD2) CD2=2OA2+AD2+BC2 (vì OA=OB)

Mặt khác, kẻ DE vuông góc với BC tại E. Ta có DE = AB. Trong hình thang vuông ABCD, ta có CD2=DE2+CE2=AB2+(BC−AD)2.

Đến đây, ta cần một cách tiếp cận khác để chứng minh IH = R. Áp dụng tính chất của trung điểm trong tam giác vuông: Trong △COD vuông tại O, OI là đường cao ứng với cạnh huyền CD. OI=CDOC⋅OD​ (tính chất đường cao trong tam giác vuông) Và OI2=IH⋅IO (không đúng, OI là khoảng cách từ O đến CD, đó chính là IH)

Ta có O là trung điểm AB. Kẻ OH⊥CD. Trong △OAC và △OBD, ta có: OC2=OA2+AC2 OD2=OB2+BD2

Ta sử dụng một tính chất quan trọng: Nếu M là trung điểm của cạnh huyền trong tam giác vuông, thì khoảng cách từ M đến đỉnh góc vuông bằng một nửa cạnh huyền.

Xét △COD vuông tại O, nếu O là trung điểm của AB. Kẻ OH⊥CD. Để CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB, ta cần chứng minh OH=OA=OB=R.

Ta có OA=OB. Từ O, kẻ đường vuông góc với CD tại H. Vì ∠COD=90∘. Kẻ OM⊥AD tại M, ON⊥BC tại N. Trong tam giác vuông △AOD, O là trung điểm của AB. Trong tam giác vuông △BOC, O là trung điểm của AB.

Ta sẽ sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông. Trong △COD vuông tại O, OH là đường cao. Ta có OH21​=OC21​+OD21​ (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Gọi R là bán kính đường tròn đường kính AB, R=OA=OB. Ta cần chứng minh OH=R. Tức là R21​=OC21​+OD21​.

Vì ∠A=∠B=90∘, O là trung điểm AB. △OAD vuông tại A. OD2=OA2+AD2=R2+AD2. △OBC vuông tại B. OC2=OB2+BC2=R2+BC2.

Vậy ta cần chứng minh R2=R2+BC21​+R2+AD21​1​=R2+BC2+R2+AD2(R2+BC2)(R2+AD2)​. R2(2R2+AD2+BC2)=R4+R2(AD2+BC2)+AD2⋅BC2. 2R4+R2(AD2+BC2)=R4+R2(AD2+BC2)+AD2⋅BC2. R4=AD2⋅BC2. R2=AD⋅BC. OA2=AD⋅BC. (2AB​)2=AD⋅BC. 4AB2​=AD⋅BC.

Bây giờ ta cần chứng minh 4AB2​=AD⋅BC. Kẻ đường cao CK từ C xuống AD. Không, ta kẻ đường cao từ D xuống BC.

Trong hình thang vuông ABCD, kẻ CE⊥AD (Không, kẻ CE⊥AB). Kẻ DI⊥AB. Ta có AB2=AD2+(BC−AD)2 (không đúng). Trong hình thang vuông ABCD, kẻ DH⊥BC tại H (Không đúng). Kẻ đường thẳng qua O song song với AD và BC, cắt CD tại H.

Ta dùng định lý về trung điểm trong hình thang. Kẻ đường thẳng qua O song song với AD (và BC). Đường thẳng này sẽ vuông góc với CD tại H. Xét hình thang vuông ABCD. Kẻ đường thẳng qua O song song với AD và BC. Đường thẳng này vuông góc với AB. Ta có một kết quả quen thuộc cho bài toán này: Trong hình thang vuông ABCD với ∠A=∠B=90∘, nếu O là trung điểm của AB và ∠COD=90∘, thì OH=OA=OB, với H là hình chiếu vuông góc của O lên CD.

Cách chứng minh: Từ O kẻ OH⊥CD. Trên tia đối của DA lấy điểm E sao cho DE = BC. Khi đó, △OAD và △OBE (không dùng cách này).

Cách khác: Kẻ OM⊥AD và ON⊥BC. Ta có △ADO∼△BCO không đúng. Trong △ADO vuông tại A và △BCO vuông tại B. Ta có ∠AOD+∠BOC=90∘ (vì ∠COD=90∘ và ∠AOB=180∘). Mà ∠DAO=90∘ và ∠CBO=90∘. Trong △ADO: ∠ADO+∠AOD=90∘. Do đó, ∠ADO=∠BOC. Xét △ADO và △BCO: ∠A=∠B=90∘. ∠ADO=∠BOC. Vậy △ADO∼△BCO (g.g). Từ đó, BCAD​=OBOA​=OCOD​. Vì OA=OB (do O là trung điểm AB), suy ra BCAD​=1⇒AD=BC. Nếu AD = BC thì ABCD là hình chữ nhật. Khi đó CD song song với AB, và ∠COD không thể bằng 90∘ trừ khi O trùng với A và B, điều này không thể xảy ra.

Vậy giả định ∠ADO=∠BOC là sai. Ta có ∠AOD+∠BOC=90∘. Trong △AOD vuông tại A: ∠ADO+∠AOD=90∘. Vậy ∠ADO=∠BOC. Xét △OAD và △CBO: ∠A=∠B=90∘. OA=OB. ∠AOD+∠BOC=90∘. Chưa kết luận được đồng dạng.

Hãy sử dụng tính chất: trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Kẻ OH vuông góc CD tại H. Xét △COD vuông tại O. Ta cần chứng minh OH=OA. Điều này có nghĩa là O là trung điểm của AB và H là trung điểm của CD. (Không đúng).

Ta có một định lý về điểm O: Cho hình thang vuông ABCD với ∠A=∠B=90∘. O là trung điểm của AB. Nếu ∠COD=90∘, thì AD⋅BC=OA⋅OB=OA2.

Chứng minh AD⋅BC=OA2: Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=AD. △OAD và △OBE (chưa dùng). Cách đơn giản hơn: Đặt OA=OB=R. Trong △AOD vuông tại A: tan(∠AOD)=OAAD​=RAD​. Trong △BOC vuông tại B: tan(∠BOC)=OBBC​=RBC​. Vì ∠COD=90∘ và ∠AOB=180∘, ta có ∠AOD+∠BOC=90∘. Suy ra tan(∠AOD)=cot(∠BOC)=tan(∠BOC)1​. RAD​=BCR​. AD⋅BC=R2. Vậy AD⋅BC=OA2.

Bây giờ ta chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB. Gọi O là tâm đường tròn, bán kính là R=OA. Kẻ OH⊥CD. Trong △COD vuông tại O, OH là đường cao. Ta có OH21​=OC21​+OD21​ (hệ thức lượng trong tam giác vuông). OC2=OB2+BC2=R2+BC2. OD2=OA2+AD2=R2+AD2. OH21​=R2+BC21​+R2+AD21​=(R2+BC2)(R2+AD2)R2+AD2+R2+BC2​. OH21​=R4+R2AD2+R2BC2+AD2BC22R2+AD2+BC2​. Vì AD⋅BC=R2, thay AD2BC2=(R2)2=R4. OH21​=R4+R2(AD2+BC2)+R42R2+AD2+BC2​=2R4+R2(AD2+BC2)2R2+AD2+BC2​. OH21​=R2(2R2+AD2+BC2)2R2+AD2+BC2​. OH21​=R21​. OH2=R2. OH=R (vì OH là khoảng cách nên OH > 0).

Khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng CD bằng bán kính R của đường tròn. Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

Tóm tắt các bước chứng minh:

Gọi O là trung điểm của AB, khi đó O là tâm của đường tròn đường kính AB và bán kính của đường tròn là R=OA=OB.
Sử dụng giả thiết ∠COD=90∘ và các tam giác vuông △OAD (vuông tại A), △OBC (vuông tại B) để thiết lập mối quan hệ giữa các cạnh.
Trong △OAD vuông tại A, tan(∠AOD)=OAAD​=RAD​.
Trong △OBC vuông tại B, tan(∠BOC)=OBBC​=RBC​.
Vì ∠AOB là góc bẹt (180∘) và ∠COD=90∘, suy ra ∠AOD+∠BOC=90∘.
Từ đó, tan(∠AOD)=cot(∠BOC)=tan(∠BOC)1​.
Thay thế các biểu thức từ bước 3 và 4: RAD​=BCR​, dẫn đến AD⋅BC=R2.
Kẻ OH⊥CD tại H. OH là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng CD.
Trong △COD vuông tại O, OH là đường cao. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: OH21​=OC21​+OD21​.
Tính OC2 và OD2 theo R, AD, BC: OC2=OB2+BC2=R2+BC2. OD2=OA2+AD2=R2+AD2.
Thay vào biểu thức ở bước 9: OH21​=R2+BC21​+R2+AD21​=(R2+BC2)(R2+AD2)R2+AD2+R2+BC2​.
Sử dụng kết quả AD⋅BC=R2 từ bước 7 để rút gọn mẫu số: AD2BC2=R4. Mẫu số trở thành R4+R2AD2+R2BC2+R4=2R4+R2(AD2+BC2)=R2(2R2+AD2+BC2).
Vậy OH21​=R2(2R2+AD2+BC2)2R2+AD2+BC2​=R21​.
Từ đó suy ra OH2=R2, hay OH=R.
Vì khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng CD bằng bán kính R của đường tròn, nên CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.