Bài toán này liên quan đến các tính chất của hình bình hành. Chúng ta sẽ chứng minh từng phần một.

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Trên tia đối của tia AD lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho AM = CN.

a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.

Phân tích: Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành, ta có thể chứng minh một trong các dấu hiệu sau:

Các cặp cạnh đối song song.
Các cặp cạnh đối bằng nhau.
Một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.
Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Hai cặp góc đối bằng nhau.
Chứng minh:

Vì ABCD là hình bình hành (giả thiết), suy ra AD//BC và AD=BC.
Mặt khác, M nằm trên tia đối của tia AD, nên A nằm giữa M và D. Đường thẳng chứa AM trùng với đường thẳng chứa AD.
N nằm trên tia đối của tia CB, nên C nằm giữa N và B. Đường thẳng chứa CN trùng với đường thẳng chứa CB.
Vì AD//BC, mà AM nằm trên đường thẳng chứa AD và CN nằm trên đường thẳng chứa BC, suy ra AM//CN.
Theo giả thiết, ta có AM=CN.
Tứ giác AMCN có một cặp cạnh đối AM và CN vừa song song vừa bằng nhau.
Vậy, tứ giác AMCN là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng MN, AC, BD đồng quy tại 1 điểm.

Phân tích: Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta thường sử dụng tính chất của các đường chéo của hình bình hành (cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).
Chứng minh:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.
Vì ABCD là hình bình hành, suy ra O là trung điểm của AC và O cũng là trung điểm của BD. (1)
Ở câu a), chúng ta đã chứng minh được tứ giác AMCN là hình bình hành.
Vì AMCN là hình bình hành, suy ra hai đường chéo MN và AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Điều này có nghĩa là trung điểm của MN cũng chính là trung điểm của AC.
Mà O là trung điểm của AC (theo (1)).
Vậy, O cũng là trung điểm của MN. (2)
Từ (1) và (2), ta thấy rằng cả ba đường thẳng MN, AC, và BD đều đi qua điểm O (O là trung điểm chung của AC, BD và MN).
Vậy, MN, AC, BD đồng quy tại 1 điểm O.

Đề bài:
Cho hình bình hành ABCDABCDABCD.

Trên tia đối của tia ADADAD, lấy điểm MMM sao cho AM=CNAM = CNAM=CN
Trên tia đối của tia CBCBCB, lấy điểm NNN
Yêu cầu:
a) Chứng minh tứ giác AMCNAMCNAMCN là hình bình hành
b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng MNMNMN, ACACAC, BDBDBD đồng quy

✳️ Giải bài toán
Hình vẽ minh họa (bạn có thể vẽ để dễ hình dung):
ABCDABCDABCD là hình bình hành
MMM là điểm nằm trên phần kéo dài của tia ADADAD về phía AAA
NNN là điểm nằm trên phần kéo dài của tia CBCBCB về phía CCC
Sao cho: AM=CNAM = CNAM=CN

🟥 a) Chứng minh tứ giác AMCNAMCNAMCN là hình bình hành
📌 Phân tích:
Ta cần chứng minh tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau
⇒ Hoặc chứng minh hai đường chéo cắt nhau và trung điểm của hai đường chéo trùng nhau
📌 Giải:
Vì ABCDABCDABCD là hình bình hành ⇒

AB∥CDAB \parallel CDAB∥CD, AD∥BCAD \parallel BCAD∥BC
AD=BCAD = BCAD=BC, AB=CDAB = CDAB=CD
Xét hai đoạn thẳng:

AMAMAM và CNCNCN là phần kéo dài của ADADAD và CBCBCB, lại có AM=CNAM = CNAM=CN (theo đề)
Mà AD∥BCAD \parallel BCAD∥BC ⇒ suy ra AM∥CNAM \parallel CNAM∥CN
⇒ Tứ giác AMCNAMCNAMCN có:

AM=CNAM = CNAM=CN (gt)
AM∥CNAM \parallel CNAM∥CN
✅ ⇒ AMCNAMCNAMCN là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau)

🟩 b) Chứng minh MNMNMN, ACACAC, BDBDBD đồng quy
📌 Phân tích:
Ta sẽ dùng tính chất hình bình hành và hình học tọa độ/phép đối xứng
Có thể dùng trung điểm đường chéo, hoặc sử dụng phép tịnh tiến, hoặc tính giao điểm.
📌 Cách 1: Dùng trung điểm của hai đường chéo
Xét hình bình hành ABCDABCDABCD:

Hai đường chéo ACACAC, BDBDBD cắt nhau tại trung điểm OOO
Tứ giác AMCNAMCNAMCN là hình bình hành (câu a) ⇒

Hai đường chéo ANANAN, CMCMCM cắt nhau tại trung điểm III
Gọi MNMNMN cắt ACACAC tại điểm PPP
Ta cần chứng minh PPP cũng nằm trên BDBDBD

📌 Cách 2: Sử dụng tọa độ để chứng minh đồng quy
Giả sử đưa về hệ trục tọa độ:

Gọi A(0,0)A(0,0)A(0,0), D(a,0)D(a,0)D(a,0) ⇒ ADADAD nằm ngang
Gọi B(0,b)B(0,b)B(0,b), C(a,b)C(a,b)C(a,b) ⇒ ABCDABCDABCD là hình bình hành
⇒ MMM là điểm trên tia đối của tia ADADAD, nên M(−a,0)M(-a,0)M(−a,0)
⇒ NNN là điểm trên tia đối của tia CBCBCB, nên N(2a,b)N(2a, b)N(2a,b)
(Do CN=AM=aCN = AM = aCN=AM=a)

Đường chéo ACACAC nối từ A(0,0)A(0,0)A(0,0) đến C(a,b)C(a,b)C(a,b)
Đường chéo BDBDBD nối từ B(0,b)B(0,b)B(0,b) đến D(a,0)D(a,0)D(a,0)
MNMNMN nối từ M(−a,0)M(-a,0)M(−a,0) đến N(2a,b)N(2a,b)N(2a,b)
✅ Ta tìm giao điểm 3 đường:
Đường thẳng ACACAC: đi qua A(0,0)A(0,0)A(0,0), C(a,b)C(a,b)C(a,b)
→ Phương trình: y=baxy = \frac{b}{a}xy=ab​x
Đường thẳng BDBDBD: đi qua B(0,b)B(0,b)B(0,b), D(a,0)D(a,0)D(a,0)
→ Phương trình: y=−bax+by = -\frac{b}{a}x + by=−ab​x+b
Đường thẳng MNMNMN: đi qua M(−a,0)M(-a,0)M(−a,0), N(2a,b)N(2a,b)N(2a,b)
→ Vector chỉ phương: v⃗=(3a,b)\vec{v} = (3a, b)v=(3a,b)
→ Phương trình tham số:
x=−a+3at,y=btx = -a + 3at,\quad y = btx=−a+3at,y=btThay vào phương trình ACACAC:

bt=ba(−a+3at)=−b+3bt⇒bt+b=3bt⇒b=2bt⇒t=12bt = \frac{b}{a}(-a + 3at) = -b + 3bt ⇒ bt + b = 3bt ⇒ b = 2bt ⇒ t = \frac{1}{2}bt=ab​(−a+3at)=−b+3bt⇒bt+b=3bt⇒b=2bt⇒t=21​⇒ Giao điểm tại t=12t = \frac{1}{2}t=21​:

x=−a+3a2=a2,y=b2x = -a + \frac{3a}{2} = \frac{a}{2},\quad y = \frac{b}{2}x=−a+23a​=2a​,y=2b​⇒ Giao điểm là P(a2,b2)P\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)P(2a​,2b​)

Giao điểm của ACACAC và BDBDBD cũng chính là trung điểm O(a2,b2)O\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)O(2a​,2b​)
✅ Vậy 3 đường thẳng MNMNMN, ACACAC, BDBDBD đồng quy tại OOO

✅ Kết luận:
a) Tứ giác AMCNAMCNAMCN là hình bình hành vì có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau
b) Ba đường thẳng MNMNMN, ACACAC, BDBDBD đồng quy tại giao điểm của hai đường chéo ACACAC, BDBDBD

 Phân tích đề bài
Cho hình bình hành ABCDABCD
Lấy điểm MM trên tia đối của ADAD, sao cho AMAM kéo dài về phía ngoài của đoạn ADAD
Lấy điểm NN trên tia đối của CBCB, tức là CNCN kéo dài về phía ngoài đoạn CBCB
AM=CNAM = CN
 
 Câu a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành
Để chứng minh tứ giác AMCNAMCN là hình bình hành, ta sẽ chứng minh hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau:

Lập luận:

Tứ giác ABCDABCD là hình bình hành nên:

AB∥CDAB \parallel CD và AB=CDAB = CD
AD∥BCAD \parallel BC và AD=BCAD = BC
Vì MM nằm trên tia đối của ADAD, AMAM là phần kéo dài của DADA
Tương tự, CNCN là phần kéo dài của BCBC
Do AM=CNAM = CN và AM∥CNAM \parallel CN (vì AD∥BCAD \parallel BC), nên:

AMAM song song và bằng với CNCN
Vậy hai cạnh đối của tứ giác AMCNAMCN song song và bằng nhau ⇒ AMCN là hình bình hành
 
 Câu b) Chứng minh MN, AC, BD đồng quy tại 1 điểm
Ta cần chỉ ra rằng ba đường thẳng MNMN, ACAC, và BDBD cắt nhau tại một điểm (gọi là điểm II).

Lập luận:

Từ câu a), AMCNAMCN là hình bình hành ⇒ hai đường chéo ACAC và MNMN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Tương tự, vì ABCDABCD là hình bình hành ⇒ hai đường chéo ACAC và BDBD cũng cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Vậy điểm giao nhau của ACAC và BDBD là trung điểm của cả hai ⇒ chính là điểm II
Do MNMN và ACAC cũng cắt nhau tại trung điểm ⇒ MNMN đi qua điểm II
→ Kết luận: MNMN, ACAC, và BDBD đồng quy tại điểm