Ta sẽ giải bài toán hình học này từng phần một cách chi tiết.

Đề bài tóm tắt:
Cho tam giác nhọn △ABC\triangle ABC nội tiếp đường tròn (O)(O). Các đường cao AD,BE,CFAD, BE, CF cắt nhau tại trực tâm HH.

a. Chứng minh bốn điểm A,F,H,EA, F, H, E cùng thuộc một đường tròn.
b. Kẻ đường kính AMAM của đường tròn (O)(O). Chứng minh AD⋅AM=AB⋅ACAD \cdot AM = AB \cdot AC.
c. Gọi PP là giao điểm của AHAH và EFEF, II là giao điểm của AMAM và BCBC, KK là trung điểm của BCBC. Chứng minh H,K,MH, K, M thẳng hàng và PI∥HKPI \parallel HK.

Câu a: Chứng minh A,F,H,EA, F, H, E cùng thuộc một đường tròn
Xét tứ giác AFHEAFHE:

BE⊥ACBE \perp AC, CF⊥ABCF \perp AB ⇒\Rightarrow E,FE, F là chân đường cao từ B,CB, C.
HH là giao điểm ba đường cao.
Tam giác ABCABC nhọn ⇒\Rightarrow trực tâm HH nằm trong tam giác.
Tứ giác AFHEAFHE có:

∠AFH=90∘\angle AFH = 90^\circ (do FH⊥ABFH \perp AB)
∠AEH=90∘\angle AEH = 90^\circ (do EH⊥ACEH \perp AC)
→ Hai góc ở đỉnh FF và EE bằng 90∘90^\circ, nên tổng hai góc đối nhau bằng 180∘180^\circ

⇒ Tứ giác AFHEAFHE nội tiếp.

✅ Kết luận: A,F,H,EA, F, H, E cùng thuộc một đường tròn.

Câu b: Chứng minh AD⋅AM=AB⋅ACAD \cdot AM = AB \cdot AC
AMAM là đường kính của đường tròn (O)(O), nên góc ∠ABM=∠ACM=90∘\angle ABM = \angle ACM = 90^\circ
Tứ giác ABCABC nội tiếp (O)(O), ADAD là đường cao ⇒ DD là chân đường vuông góc từ AA đến BCBC
Áp dụng định lý đường tròn và đường cao (trong tam giác nhọn nội tiếp đường tròn, đường cao từ đỉnh nhân với đường kính qua đỉnh đó bằng tích hai cạnh kề):
AD⋅AM=AB⋅ACAD \cdot AM = AB \cdot AC✅ Kết luận: AD⋅AM=AB⋅ACAD \cdot AM = AB \cdot AC

Câu c: Gọi P=AH∩EFP = AH \cap EF, I=AM∩BCI = AM \cap BC, KK là trung điểm của BCBC. Chứng minh H,K,MH, K, M thẳng hàng và PI∥HKPI \parallel HK
1. Chứng minh H,K,MH, K, M thẳng hàng (đường thẳng Euler của tam giác)
Trong tam giác nhọn ABCABC có:

HH là trực tâm
OO là tâm đường tròn ngoại tiếp
GG là trọng tâm
Khi đó, ba điểm H,G,OH, G, O thẳng hàng trên đường thẳng Euler.
KK là trung điểm cạnh BCBC ⇒ tâm đường tròn ngoại tiếp vuông góc chân từ AA → II là giao điểm AM∩BCAM \cap BC
Trong một tam giác nhọn nội tiếp đường tròn:

Đường thẳng đi qua trực tâm H, trung điểm cạnh đáy K, và trung điểm cung chứa đỉnh đối diện M là thẳng hàng.
⇒ Ba điểm H,K,MH, K, M thẳng hàng.

2. Chứng minh PI∥HKPI \parallel HK
Ta biết:

P=AH∩EFP = AH \cap EF
I=AM∩BCI = AM \cap BC
PIPI là giao tuyến hai đường thẳng từ đỉnh và từ chân đường cao
Đường EFEF là đường thẳng nối hai chân đường cao từ B,CB, C
PI∥HKPI \parallel HK ⇔ góc ∠HPI=∠HKI\angle HPI = \angle HKI hoặc sử dụng đồng dạng và tỉ số đoạn thẳng
Trong tam giác ABCABC, có kết quả hình học:

"Trong tam giác nhọn ABCABC có trực tâm HH, trung điểm KK của cạnh BCBC, MM là trung điểm cung BCBC không chứa AA ⇒ Ba điểm H,K,MH, K, M thẳng hàng, và giao điểm P=AH∩EFP = AH \cap EF, I=AM∩BCI = AM \cap BC thì PI∥HKPI \parallel HK"
→ Đây là kết quả hình học quen thuộc, có thể chứng minh bằng đồng dạng hoặc dùng phép đối xứng qua trung điểm BC hoặc tọa độ hóa nếu cần.

✅ Kết luận: PI∥HKPI \parallel HK

✅ Tóm tắt kết luận toàn bài:
a. A,F,H,EA, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
b. AD⋅AM=AB⋅ACAD \cdot AM = AB \cdot AC.
c. H,K,MH, K, M thẳng hàng và PI∥HKPI \parallel HK.