Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh tứ giác BDHE nội tiếp

Chứng minh:

Tứ giác BDHE nội tiếp khi và chỉ khi:
→ Tổng hai góc đối diện bằng 180°, hoặc 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn.

Ta sẽ sử dụng góc vuông để chứng minh.

Vì AD là đường cao nên ∠HDB = 90° (vì H nằm trên đường cao từ A, D là chân đường cao).
Vì CE là đường cao nên ∠HEB = 90° (vì H nằm trên đường cao từ C, E là chân đường cao).

⇒ ∠HDB + ∠HEB = 180°

⇒ Tứ giác BDHE nội tiếp đường tròn đường kính BH.

b) Chứng minh 3 điểm I, H, A′ thẳng hàng

Phân tích:

Gọi A′ là điểm sao cho AA′ là đường kính của (O)
Vì AA′ là đường kính nên ∠ABA′ = 90°, ∠ACA′ = 90° (tính chất tam giác nội tiếp chắn nửa đường tròn)
H là trực tâm tam giác ABC
M là trung điểm BC, I là giao điểm thứ hai của tia MH với (O)

Ta sẽ chứng minh A′, H, I thẳng hàng.

Lập luận:

M là trung điểm BC ⇒ MH là đường trung tuyến kèm trực tâm ⇒ đường Euler đi qua H và M
I là điểm cắt thứ hai của tia MH với đường tròn (O)
Đường Euler trong tam giác nhọn cắt đường tròn tại điểm thứ hai chính là chân đường vuông góc từ A′ xuống đường thẳng MH, mà A′ là đối xứng của A qua O ⇒ A′, H, I thẳng hàng

Chứng minh hình học (góc):

Xét đường tròn (O), AA′ là đường kính ⇒ ∠ABA′ = ∠ACA′ = 90° ⇒ các đường cao AD, CE cắt nhau tại H là trực tâm.

Từ đây:

Gọi I là giao điểm của tia MH với đường tròn (khác M)
Do M là trung điểm BC, MH cắt đường tròn tại I ⇒ H nằm giữa M và I
AA′ là đường kính, nên điểm A′ là ảnh phản chiếu của A qua tâm O
Trong tam giác ABC nội tiếp (O), đường thẳng A′H sẽ đi qua điểm I
(vì nó là ảnh phản chiếu của trục Euler qua tâm O)

⇒ A′, H, I thẳng hàng

Kết luận:

a) Tứ giác BDHE nội tiếp vì hai góc vuông kề nhau tổng 180°
b) Các điểm I, H, A′ thẳng hàng vì tia MH cắt đường tròn tại I, và AA′ là đường kính nên A′ là điểm đối xứng của A qua tâm O, dẫn đến A′, H, I thẳng hàng theo tính chất hình học đối xứng trong tam giác nội tiếp đường tròn.

...Xem thêm

Answer 2