Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh tứ giác CMHNCMHNCMHN nội tiếp đường tròn
Chứng minh:

Vì AM⊥BCAM \perp BCAM⊥BC tại MMM nên AMAMAM là đường cao.
BN⊥ACBN \perp ACBN⊥AC tại NNN nên BNBNBN là đường cao.
Gọi HHH là giao điểm hai đường cao ⇒ HHH là trực tâm tam giác ABCABCABC.
Ta cần chứng minh: tứ giác CMHNCMHNCMHN nội tiếp, tức là chứng minh

∠CMH+∠CNH=180∘\angle CMH + \angle CNH = 180^\circ∠CMH+∠CNH=180∘hoặc chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.

Xét:

Vì AM⊥BCAM \perp BCAM⊥BC ⇒ ∠AMC=90∘\angle AMC = 90^\circ∠AMC=90∘.
Vì BN⊥ACBN \perp ACBN⊥AC ⇒ ∠BNC=90∘\angle BNC = 90^\circ∠BNC=90∘.
Mặt khác, trong tam giác ABCABCABC, do HHH là trực tâm nên:

HM⊥BCHM \perp BCHM⊥BC (vì HHH nằm trên đường cao từ AAA).
HN⊥ACHN \perp ACHN⊥AC (vì HHH nằm trên đường cao từ BBB).
Nghĩa là:

∠HMC=90∘\angle HMC = 90^\circ∠HMC=90∘.
∠HNC=90∘\angle HNC = 90^\circ∠HNC=90∘.
=> Trong tứ giác CMHNCMHNCMHN:
Có hai góc đối ∠HMC\angle HMC∠HMC và ∠HNC\angle HNC∠HNC đều bằng 90∘90^\circ90∘.

=> Tổng hai góc đối bằng 180∘180^\circ180∘.

Vậy CMHN\boxed{CMHN}CMHN là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Phân tích đề bài phần b
Phân giác trong góc AAA cắt đường tròn (O)(O)(O) tại EEE (khác AAA).
Gọi KKK là trung điểm của ACACAC.
Cần chứng minh:

OEOEOE đi qua trung điểm FFF của BCBCBC.
BH=2OKBH = 2OKBH=2OK.

...Xem thêm

Answer 2