Gán tọa độ

Giả sử:

- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(1, 0, 0) \)
- Vì tam giác ABC đều cạnh 1, nên C sẽ nằm tại:
\[
C\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)
\]

- \( SA \perp (ABC) \), đặt \( S(0, 0, h) \)

Tính độ dài \( SB \)

Từ tọa độ \( S(0, 0, h),\ B(1, 0, 0) \):

\[
SB = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{1 + h^2}
\]

Theo đề: \( SB = 2 \)

\[
\Rightarrow \sqrt{1 + h^2} = 2 \Rightarrow 1 + h^2 = 4 \Rightarrow h^2 = 3 \Rightarrow h = \sqrt{3}
\]

→ \( S(0, 0, \sqrt{3}) \)

Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

- Ta dùng công thức: khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

Gọi mặt phẳng (SBC) có phương trình:

Lấy 3 điểm:
- \( S(0, 0, \sqrt{3}) \)
- \( B(1, 0, 0) \)
- \( C\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \)

Lập hai vector trong mặt phẳng:

\[
\vec{SB} = B - S = (1, 0, -\sqrt{3}),\quad
\vec{SC} = C - S = \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3}\right)
\]

3. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (SBC):
\[
\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC}
\]

Tính tích có hướng:
\[
\vec{n} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 0 & -\sqrt{3} \\
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3}
\end{vmatrix}
\]

Tính từng thành phần:

- i: \( 0 \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \)
- j: \( -\left(1 \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2}\right) = -\left(-\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- k: \( 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\[
\vec{n} = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\]

Dùng công thức khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

- Phương trình mặt phẳng qua điểm S, vector pháp tuyến \( \vec{n} \):

Dạng:
\[
\frac{3}{2}(x - 0) + \frac{\sqrt{3}}{2}(y - 0) + \frac{\sqrt{3}}{2}(z - \sqrt{3}) = 0
\]

Rút gọn:
\[
\frac{3}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y + \frac{\sqrt{3}}{2}z - \frac{3}{2} = 0
\]

Nhân cả 2 vế với 2:
\[
3x + \sqrt{3}y + \sqrt{3}z - 3 = 0
\]

Gọi mặt phẳng có dạng:
\[
Ax + By + Cz + D = 0 \Rightarrow A = 3,\ B = \sqrt{3},\ C = \sqrt{3},\ D = -3
\]

Dùng công thức khoảng cách từ điểm \( A(0,0,0) \) đến mặt phẳng:

\[
d = \dfrac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \dfrac{|0 + 0 + 0 - 3|}{\sqrt{9 + 3 + 3}} = \dfrac{3}{\sqrt{15}}
\]

Đáp án:
\[
\boxed{\dfrac{3}{\sqrt{15}}} \quad \text{hoặc} \quad \boxed{\dfrac{\sqrt{15}}{5}} \ (\text{rút gọn})
\]

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các kiến thức hình học không gian và tính toán khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
(
𝑆
𝐵
𝐶
)
(SBC).

Tóm tắt bài toán:
Cho hình chóp
𝑆
𝐴
𝐵
𝐶
SABC với đáy là tam giác đều
𝐴
𝐵
𝐶
ABC có cạnh
1
1.

Mặt phẳng đáy
(
𝐴
𝐵
𝐶
)
(ABC) vuông góc với
𝑆
𝐴
SA.

𝑆
𝐵
=
2
SB=2.

Cần tìm khoảng cách từ điểm
𝐴
A đến mặt phẳng
(
𝑆
𝐵
𝐶
)
(SBC).

Bước 1: Phân tích hình học của hình chóp
Đáy là tam giác đều
𝐴
𝐵
𝐶
ABC:

Cạnh
𝐴
𝐵
=
𝐵
𝐶
=
𝐶
𝐴
=
1
AB=BC=CA=1.

Tam giác
𝐴
𝐵
𝐶
ABC là tam giác đều nên trung điểm
𝑀
M của
𝐵
𝐶
BC là trực tâm, trọng tâm, và là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác này.

Hình chóp vuông góc:

Mặt phẳng đáy
(
𝐴
𝐵
𝐶
)
(ABC) vuông góc với đoạn
𝑆
𝐴
SA, tức là đoạn
𝑆
𝐴
SA là vuông góc với mặt phẳng đáy
(
𝐴
𝐵
𝐶
)
(ABC).

Khoảng cách từ
𝐴
A đến mặt phẳng
(
𝑆
𝐵
𝐶
)
(SBC):

Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ta cần tính độ dài của phép chiếu vuông góc từ điểm đó lên mặt phẳng.

Bước 2: Tính toán
Tạo hệ tọa độ:

Đặt điểm
𝐴
=
(
0
,
0
,
0
)
A=(0,0,0) tại gốc tọa độ.

Đặt
𝐵
=
(
1
,
0
,
0
)
B=(1,0,0) và
𝐶
=
(
1
2
,
3
2
,
0
)
C=(
2
1
​
,
2
3
​

​
,0) vì tam giác
𝐴
𝐵
𝐶
ABC đều có cạnh 1.

Vị trí của điểm
𝑆
S:

Vì
𝑆
𝐴
SA vuông góc với mặt phẳng đáy
(
𝐴
𝐵
𝐶
)
(ABC), nên
𝑆
S nằm trên trục
𝑧
z. Do
𝑆
𝐵
=
2
SB=2, ta cần xác định tọa độ của
𝑆
S.

Cách đơn giản là lấy
𝑆
=
(
0
,
0
,
2
)
S=(0,0,2) (vì
𝑆
S là vuông góc với mặt phẳng
𝐴
𝐵
𝐶
ABC).

Phương trình mặt phẳng
(
𝑆
𝐵
𝐶
)
(SBC):

Để tính khoảng cách từ
𝐴
A đến mặt phẳng
(
𝑆
𝐵
𝐶
)
(SBC), ta cần phương trình mặt phẳng này.

Các vector
𝑆
𝐵
→
SB
và
𝑆
𝐶
→
SC
sẽ là các vector pháp tuyến của mặt phẳng
(
𝑆
𝐵
𝐶
)
(SBC).

𝑆
𝐵
→
=
(
1
,
0
,
−
2
)
SB
=(1,0,−2)
𝑆
𝐶
→
=
(
1
2
,
3
2
,
−
2
)
SC
=(
2
1
​
,
2
3
​

​
,−2)
Tính tích có hướng của
𝑆
𝐵
→
SB
và
𝑆
𝐶
→
SC
để tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng:

𝑆
𝐵
→
×
𝑆
𝐶
→
=
∣
𝑖
^
𝑗
^
𝑘
^
1
0
−
2
1
2
3
2
−
2
∣
SB
×
SC
=
​

i
^

1
2
1
​

​

j
^
​

0
2
3
​

​

​

k
^

−2
−2
​

​

Kết quả là:

𝑆
𝐵
→
×
𝑆
𝐶
→
=
(
3
,
−
1
,
3
2
)
SB
×
SC
=(
3
​
,−1,
2
3
​

​
)
Do đó, phương trình mặt phẳng
(
𝑆
𝐵
𝐶
)
(SBC) là:

3
𝑥
−
𝑦
+
3
2
𝑧
=
𝑑
3
​
x−y+
2
3
​

​
z=d
Sử dụng điểm
𝐵
(
1
,
0
,
0
)
B(1,0,0) để tìm
𝑑
d:

3
(
1
)
−
(
0
)
+
3
2
(
0
)
=
𝑑
⇒
𝑑
=
3
3
​
(1)−(0)+
2
3
​

​
(0)=d⇒d=
3
​

Vậy phương trình mặt phẳng
(
𝑆
𝐵
𝐶
)
(SBC) là:

3
𝑥
−
𝑦
+
3
2
𝑧
=
3
3
​
x−y+
2
3
​

​
z=
3
​

Bước 3: Tính khoảng cách từ
𝐴
A đến mặt phẳng
(
𝑆
𝐵
𝐶
)
(SBC)
Khoảng cách từ điểm
𝐴
(
0
,
0
,
0
)
A(0,0,0) đến mặt phẳng
3
𝑥
−
𝑦
+
3
2
𝑧
=
3
3
​
x−y+
2
3
​

​
z=
3
​
được tính theo công thức:

𝑑
=
∣
𝐴
𝑥
1
+
𝐵
𝑦
1
+
𝐶
𝑧
1
+
𝐷
∣
𝐴
2
+
𝐵
2
+
𝐶
2
d=
A
2
+B
2
+C
2

​

∣Ax
1
​
+By
1
​
+Cz
1
​
+D∣
​

Với
𝐴
=
3
,
𝐵
=
−
1
,
𝐶
=
3
2
,
𝐷
=
−
3
A=
3
​
,B=−1,C=
2
3
​

​
,D=−
3
​
, và điểm
𝐴
(
0
,
0
,
0
)
A(0,0,0), ta có:

𝑑
=
∣
3
(
0
)
−
(
0
)
+
3
2
(
0
)
−
3
∣
(
3
)
2
+
(
−
1
)
2
+
(
3
2
)
2
d=
(
3
​
)
2
+(−1)
2
+(
2
3
​

​
)
2

​

∣
3
​
(0)−(0)+
2
3
​

​
(0)−
3
​
∣
​

𝑑
=
∣
 
−
3
∣
3
+
1
+
3
4
d=
3+1+
4
3
​

​

∣ −
3
​
∣
​

𝑑
=
3
19
4
=
3
19
2
=
2
3
19
d=
4
19
​

​

3
​

​
=
2
19
​

​

3
​

​
=
19
​

2
3
​

​

Kết quả cuối cùng là khoảng cách từ
𝐴
A đến mặt phẳng
(
𝑆
𝐵
𝐶
)
(SBC) là:

2
3
19
19
​

2
3
​

​

​