Để giải quyết hai bài toán hình học này, ta sẽ tiến hành chứng minh từng phần một cách chi tiết.

**Bài 1:**

**a) Chứng minh bốn điểm B, H, N, C cùng thuộc một đường tròn (O)**

* **Phân tích:** Để chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn, ta có thể chứng minh các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc tổng hai góc đối bằng 180°.

* **Chứng minh:**
* Vì MH là hình chiếu vuông góc của M trên AB, nên \(\angle MHA = 90^\circ\). Suy ra \(\angle BHA = 90^\circ\).
* Theo đề bài, đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt MH tại N, nên \(\angle NCB = 90^\circ\).
* Xét tứ giác BHNC, ta có \(\angle BHA + \angle BCN = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\).
* Vậy tứ giác BHNC nội tiếp được trong một đường tròn (O). Hay bốn điểm B, H, N, C cùng thuộc đường tròn (O).

**b) Đường tròn (O) cắt cạnh AC tại điểm thứ hai là K. Chứng minh HK // BC.**

* **Phân tích:** Để chứng minh HK // BC, ta cần chứng minh các góc so le trong hoặc đồng vị bằng nhau.

* **Chứng minh:**
* Vì tứ giác BHNC nội tiếp đường tròn (O), thì K cũng thuộc đường tròn (O). Do đó, tứ giác BHNK nội tiếp.
* \(\angle BHK = \angle CNB\) (cùng chắn cung BK).
* Vì \(\triangle ABC\) đều, nên \(\angle ABC = 60^\circ\) hay \(\angle HBC = 60^\circ\).
* Tứ giác BHNC nội tiếp, suy ra \(\angle BHC = \angle BNC\).
* Mà \(\angle BNC = 180^\circ - \angle CNB\), suy ra \(\angle CNB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) (vì \(\angle NBC = 60^\circ\) do \(\triangle ABC\) đều).
* Trong tứ giác BHNK nội tiếp, \(\angle NHK = \angle NBK\).
* Ta có \(\angle NBK = \angle NBC = 60^\circ\).
* Vậy \(\angle NHK = 60^\circ\).
* Ta có \(\angle HCB = 90^\circ\) (do CN vuông góc BC).
* \(\angle HKC = 180^\circ - \angle HNC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\).
* Vì \(\triangle ABC\) đều, \(\angle ACB = 60^\circ\).
* Xét \(\triangle HKC\), ta có \(\angle HKC = 180^\circ - \angle KHC - \angle KCH = 180^\circ - \angle KHC - 60^\circ\).
* Ta cần chứng minh \(\angle KHC = 120^\circ\), khi đó \(\angle HKC = 0\), điều này không thể xảy ra.

*Chứng minh lại:*

* Tứ giác BHNK nội tiếp (O), suy ra \(\angle HKB = \angle HNB\) (cùng chắn cung HB).
* Mà \(\angle HNB = \angle MNC\) (đối đỉnh).
* Xét tam giác MNC vuông tại C, \(\angle MNC + \angle NMC = 90^\circ\).
* Vì \(\angle BAC = 60^\circ\) (tam giác ABC đều) và \(\angle MHA = 90^\circ\), nên \(\angle AMH = 30^\circ\).
* Suy ra \(\angle NMC = 30^\circ\).
* Vậy \(\angle MNC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).
* Do đó, \(\angle HKB = 60^\circ\).
* Ta có \(\angle ACB = 60^\circ\) (tam giác ABC đều).
* Vậy \(\angle HKB = \angle ACB = 60^\circ\).
* Hai góc này ở vị trí đồng vị, suy ra HK // BC.

**Bài 2:**

**a) Chứng minh tứ giác CKFM nội tiếp**

* **Phân tích:** Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh tổng hai góc đối bằng 180° hoặc các góc nội tiếp cùng chắn một cung.

* **Chứng minh:**
* Vì CD vuông góc với AB tại K, nên \(\angle CKF = 90^\circ\).
* Vì M nằm trên đường tròn (O) và CD là đường kính, nên \(\angle CMD = 90^\circ\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra \(\angle FMD = 90^\circ\).
* Xét tứ giác CKFM, ta có \(\angle CKF + \angle FMD = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\).
* Vậy tứ giác CKFM nội tiếp.

**b) Chứng minh rằng \(DF \cdot DM + CM \cdot CE = 4R^2\)**

* **Phân tích:** Sử dụng các tính chất của đường tròn, các định lý về tích các đoạn thẳng và định lý Ptolemy.

* **Chứng minh:**
* Ta có \(CD = 2R\).
* Vì \(\angle CMD = 90^\circ\), suy ra tam giác CDM vuông tại M.
* Áp dụng định lý Pythagoras: \(CM^2 + MD^2 = CD^2 = (2R)^2 = 4R^2\).
* Xét các tam giác đồng dạng:
* \(\triangle DFK \sim \triangle DME\) (do \(\angle DFK = \angle DME = 90^\circ\) và \(\angle FDK = \angle EDM\)).
* Suy ra \(\frac{DF}{DE} = \frac{DK}{DM}\), hay \(DF \cdot DM = DK \cdot DE\).
* Xét các đoạn thẳng trên đường thẳng AB: \(EK \cdot EC = EA \cdot EB\) (tính chất cát tuyến).
* Ta có \(CM \cdot CE = CK \cdot CD\) (vì tứ giác MKDE nội tiếp).
* Vậy \(CM \cdot CE = CK \cdot (2R)\).
* Ta cần chứng minh \(DF \cdot DM + CM \cdot CE = 4R^2\), tương đương \(DK \cdot DE + CK \cdot CD = 4R^2\).
* Ta có \(DK \cdot DE + CK \cdot 2R = 4R^2\).
* Suy ra \(DK \cdot DE = 2R (2R - CK) = 2R \cdot KD\), vậy \(DE = 2R\).
* Điều này chỉ đúng khi E trùng với C, nhưng E là giao điểm của CM và AB, điều này không đúng.

*Chứng minh lại:*
*Ta có \(DF \cdot DM = DA \cdot DB\) (tính chất cát tuyến)
*Ta có \(CE \cdot CM = CA \cdot CB\)
*Suy ra \(DF \cdot DM + CM \cdot CE = DA \cdot DB + CA \cdot CB\)
*Ta thấy rằng điều này không giúp chúng ta đến được \(4R^2\)

* Sử dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp CDME:
* \(CM \cdot DE + DM \cdot CE = CD \cdot ME\)
* \(CM \cdot CE + DM \cdot DF = ?\)
* Ta thấy rằng \(DF \cdot DM + CM \cdot CE = 4R^2\) là một kết quả quen thuộc và thường liên quan đến các bài toán về phương tích hoặc các bài toán về đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp.

*Nhận xét:* Bài này có thể cần một cách tiếp cận khác, có thể sử dụng phương tích hoặc các tính chất đặc biệt khác của đường tròn.

**c) Tia CF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N, tia MK cắt (O) tại điểm thứ hai G. Chứng minh rằng AB // GN**

* **Phân tích:** Để chứng minh AB // GN, ta cần chứng minh các góc so le trong hoặc đồng vị bằng nhau.

* **Chứng minh:**
* Vì tứ giác CKFM nội tiếp, nên \(\angle CFM = \angle CKM\).
* Ta có \(\angle CKM = \angle AKM\).
* Vì \(\angle AKM\) và \(\angle AGM\) cùng chắn cung AM, nên \(\angle AKM = \angle AGM\).
* Vậy \(\angle CFM = \angle AGM\).
* Mà \(\angle CFM = \angle CFN\).
* Suy ra \(\angle CFN = \angle AGM\).
* Ta cần chứng minh \(\angle KAB = \angle AGN\).
* Ta có \(\angle CFN = \angle CNB\) (cùng chắn cung NC).
* Suy ra \(\angle AGM = \angle CNG\).
* Vì tứ giác CDNG nội tiếp, nên \(\angle CNG = \angle CDG\).
* Vậy \(\angle AGM = \angle CDG\).
* Mà \(\angle CDG = \angle CDK = 90^\circ\).
* Suy ra \(\angle AGM = 90^\circ\).
* Vậy GN là đường kính của đường tròn (O).

*Chứng minh lại:*
*Ta có \(\angle GNM = 90^\circ\), suy ra \(\angle GNA + \angle ANM = 90^\circ\)
*Mà \(\angle ANM = \angle ABM\) (cùng chắn cung AM)
*Ta có \(\angle AKB = 90^\circ\) (do CD vuông góc AB)
*Ta cần chứng minh \(\angle GNA = \angle BAK = 0\)
*Ta nhận thấy có một số điểm bất thường ở đây

* Nhận xét: Để chứng minh AB // GN, ta cần chứng minh \(\angle BAK = \angle AGN\).
* Chứng minh lại phần này cần nhiều thời gian hơn, nhưng đây là hướng tiếp cận đúng.

**Tóm tắt:**

* Bài 1 đã được giải quyết hoàn chỉnh.
* Bài 2(a) đã được giải quyết.
* Bài 2(b) cần xem xét lại cách tiếp cận.
* Bài 2(c) cần chứng minh \(\angle BAK = \angle AGN\) để chứng minh AB // GN.