Để giải quyết hai bài toán hình học này, ta sẽ tiến hành chứng minh từng phần một cách chi tiết.

**Bài 1:**

**a) Chứng minh bốn điểm B, H, N, C cùng thuộc một đường tròn (O)**

* **Phân tích:** Để chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn, ta có thể chứng minh các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc tổng hai góc đối bằng 180°.

* **Chứng minh:**
* Vì MH là hình chiếu vuông góc của M trên AB, nên $\angle MHA = 90^\circ$. Suy ra $\angle BHA = 90^\circ$.
* Theo đề bài, đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt MH tại N, nên $\angle NCB = 90^\circ$.
* Xét tứ giác BHNC, ta có $\angle BHA + \angle BCN = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
* Vậy tứ giác BHNC nội tiếp được trong một đường tròn (O). Hay bốn điểm B, H, N, C cùng thuộc đường tròn (O).

**b) Đường tròn (O) cắt cạnh AC tại điểm thứ hai là K. Chứng minh HK // BC.**

* **Phân tích:** Để chứng minh HK // BC, ta cần chứng minh các góc so le trong hoặc đồng vị bằng nhau.

* **Chứng minh:**
* Vì tứ giác BHNC nội tiếp đường tròn (O), thì K cũng thuộc đường tròn (O). Do đó, tứ giác BHNK nội tiếp.
* $\angle BHK = \angle CNB$ (cùng chắn cung BK).
* Vì $\triangle ABC$ đều, nên $\angle ABC = 60^\circ$ hay $\angle HBC = 60^\circ$.
* Tứ giác BHNC nội tiếp, suy ra $\angle BHC = \angle BNC$.
* Mà $\angle BNC = 180^\circ - \angle CNB$, suy ra $\angle CNB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (vì $\angle NBC = 60^\circ$ do $\triangle ABC$ đều).
* Trong tứ giác BHNK nội tiếp, $\angle NHK = \angle NBK$.
* Ta có $\angle NBK = \angle NBC = 60^\circ$.
* Vậy $\angle NHK = 60^\circ$.
* Ta có $\angle HCB = 90^\circ$ (do CN vuông góc BC).
* $\angle HKC = 180^\circ - \angle HNC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
* Vì $\triangle ABC$ đều, $\angle ACB = 60^\circ$.
* Xét $\triangle HKC$, ta có $\angle HKC = 180^\circ - \angle KHC - \angle KCH = 180^\circ - \angle KHC - 60^\circ$.
* Ta cần chứng minh $\angle KHC = 120^\circ$, khi đó $\angle HKC = 0$, điều này không thể xảy ra.

*Chứng minh lại:*

* Tứ giác BHNK nội tiếp (O), suy ra $\angle HKB = \angle HNB$ (cùng chắn cung HB).
* Mà $\angle HNB = \angle MNC$ (đối đỉnh).
* Xét tam giác MNC vuông tại C, $\angle MNC + \angle NMC = 90^\circ$.
* Vì $\angle BAC = 60^\circ$ (tam giác ABC đều) và $\angle MHA = 90^\circ$, nên $\angle AMH = 30^\circ$.
* Suy ra $\angle NMC = 30^\circ$.
* Vậy $\angle MNC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
* Do đó, $\angle HKB = 60^\circ$.
* Ta có $\angle ACB = 60^\circ$ (tam giác ABC đều).
* Vậy $\angle HKB = \angle ACB = 60^\circ$.
* Hai góc này ở vị trí đồng vị, suy ra HK // BC.

**Bài 2:**

**a) Chứng minh tứ giác CKFM nội tiếp**

* **Phân tích:** Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh tổng hai góc đối bằng 180° hoặc các góc nội tiếp cùng chắn một cung.

* **Chứng minh:**
* Vì CD vuông góc với AB tại K, nên $\angle CKF = 90^\circ$.
* Vì M nằm trên đường tròn (O) và CD là đường kính, nên $\angle CMD = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra $\angle FMD = 90^\circ$.
* Xét tứ giác CKFM, ta có $\angle CKF + \angle FMD = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
* Vậy tứ giác CKFM nội tiếp.

**b) Chứng minh rằng $DF \cdot DM + CM \cdot CE = 4R^2$**

* **Phân tích:** Sử dụng các tính chất của đường tròn, các định lý về tích các đoạn thẳng và định lý Ptolemy.

* **Chứng minh:**
* Ta có $CD = 2R$.
* Vì $\angle CMD = 90^\circ$, suy ra tam giác CDM vuông tại M.
* Áp dụng định lý Pythagoras: $CM^2 + MD^2 = CD^2 = (2R)^2 = 4R^2$.
* Xét các tam giác đồng dạng:
* $\triangle DFK \sim \triangle DME$ (do $\angle DFK = \angle DME = 90^\circ$ và $\angle FDK = \angle EDM$).
* Suy ra $\frac{DF}{DE} = \frac{DK}{DM}$, hay $DF \cdot DM = DK \cdot DE$.
* Xét các đoạn thẳng trên đường thẳng AB: $EK \cdot EC = EA \cdot EB$ (tính chất cát tuyến).
* Ta có $CM \cdot CE = CK \cdot CD$ (vì tứ giác MKDE nội tiếp).
* Vậy $CM \cdot CE = CK \cdot (2R)$.
* Ta cần chứng minh $DF \cdot DM + CM \cdot CE = 4R^2$, tương đương $DK \cdot DE + CK \cdot CD = 4R^2$.
* Ta có $DK \cdot DE + CK \cdot 2R = 4R^2$.
* Suy ra $DK \cdot DE = 2R (2R - CK) = 2R \cdot KD$, vậy $DE = 2R$.
* Điều này chỉ đúng khi E trùng với C, nhưng E là giao điểm của CM và AB, điều này không đúng.

*Chứng minh lại:*
*Ta có $DF \cdot DM = DA \cdot DB$ (tính chất cát tuyến)
*Ta có $CE \cdot CM = CA \cdot CB$
*Suy ra $DF \cdot DM + CM \cdot CE = DA \cdot DB + CA \cdot CB$
*Ta thấy rằng điều này không giúp chúng ta đến được $4R^2$

* Sử dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp CDME:
* $CM \cdot DE + DM \cdot CE = CD \cdot ME$
* $CM \cdot CE + DM \cdot DF = ?$
* Ta thấy rằng $DF \cdot DM + CM \cdot CE = 4R^2$ là một kết quả quen thuộc và thường liên quan đến các bài toán về phương tích hoặc các bài toán về đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp.

*Nhận xét:* Bài này có thể cần một cách tiếp cận khác, có thể sử dụng phương tích hoặc các tính chất đặc biệt khác của đường tròn.

**c) Tia CF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N, tia MK cắt (O) tại điểm thứ hai G. Chứng minh rằng AB // GN**

* **Phân tích:** Để chứng minh AB // GN, ta cần chứng minh các góc so le trong hoặc đồng vị bằng nhau.

* **Chứng minh:**
* Vì tứ giác CKFM nội tiếp, nên $\angle CFM = \angle CKM$.
* Ta có $\angle CKM = \angle AKM$.
* Vì $\angle AKM$ và $\angle AGM$ cùng chắn cung AM, nên $\angle AKM = \angle AGM$.
* Vậy $\angle CFM = \angle AGM$.
* Mà $\angle CFM = \angle CFN$.
* Suy ra $\angle CFN = \angle AGM$.
* Ta cần chứng minh $\angle KAB = \angle AGN$.
* Ta có $\angle CFN = \angle CNB$ (cùng chắn cung NC).
* Suy ra $\angle AGM = \angle CNG$.
* Vì tứ giác CDNG nội tiếp, nên $\angle CNG = \angle CDG$.
* Vậy $\angle AGM = \angle CDG$.
* Mà $\angle CDG = \angle CDK = 90^\circ$.
* Suy ra $\angle AGM = 90^\circ$.
* Vậy GN là đường kính của đường tròn (O).

*Chứng minh lại:*
*Ta có $\angle GNM = 90^\circ$, suy ra $\angle GNA + \angle ANM = 90^\circ$
*Mà $\angle ANM = \angle ABM$ (cùng chắn cung AM)
*Ta có $\angle AKB = 90^\circ$ (do CD vuông góc AB)
*Ta cần chứng minh $\angle GNA = \angle BAK = 0$
*Ta nhận thấy có một số điểm bất thường ở đây

* Nhận xét: Để chứng minh AB // GN, ta cần chứng minh $\angle BAK = \angle AGN$.
* Chứng minh lại phần này cần nhiều thời gian hơn, nhưng đây là hướng tiếp cận đúng.

**Tóm tắt:**

* Bài 1 đã được giải quyết hoàn chỉnh.
* Bài 2(a) đã được giải quyết.
* Bài 2(b) cần xem xét lại cách tiếp cận.
* Bài 2(c) cần chứng minh $\angle BAK = \angle AGN$ để chứng minh AB // GN.