Câu 1:

a) Đúng. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ ( $y' > 0$ ).

b) Đúng. Hàm số nghịch biến trên $(-1; 1)$ ( $y' < 0$ ).

c) Sai. Hàm số đồng biến trên $(1; +\infty)$ ( $y' > 0$ ).

d) Sai. Hàm số không đồng biến trên $(0; +\infty)$ (nghịch biến trên $(0;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty)$).

Câu 2:

a) Đúng. $y'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=1$.

b) Sai. Hàm số chỉ có một điểm cực đại tại $x=1$.

c) Sai. Hàm số có hai điểm cực trị là $x=-1$ (cực tiểu) và $x=1$ (cực đại).

d) Đúng. $y'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-1$.

Câu 3:

a) Đúng. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(-1; 2)$.

b) Đúng. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(1; -2)$.

c) Sai. $(2; -1)$ không phải điểm cực trị.

d) Sai. $(1; -2)$ là điểm cực tiểu.

Câu 4:

a) Đúng. Đồ thị đi lên trên khoảng $(-\infty; 0)$.

b) Đúng. Đồ thị đi xuống trên khoảng $(0; 2)$.

c) Sai. Hàm số nghịch biến trên $(0; 2)$ và đồng biến trên $(2; +\infty)$.

d) Sai. Đồ thị đi lên trên khoảng $(2; +\infty)$, hàm số đồng biến.

Câu 5:

a) Đúng. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$.

b) Đúng. Giá trị cực đại của hàm số là $y_{CĐ} = 2$ (tại $x=-2$).

c) Sai. Điểm $(-2; 2)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

d) Đúng. Hàm số đạt cực đại tại $x=-2$.

Câu 6: Cho hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ $(a \neq 0)$.

a) Đúng. Đồ thị hàm bậc ba luôn có tâm đối xứng là điểm uốn $I(x_0, y_0)$ với $x_0 = -\frac{b}{3a}$.

b) Đúng. $\lim_{x \to \pm \infty} y = \pm \infty$ (hoặc $\mp \infty$), hàm số liên tục nên đồ thị cắt trục hoành ít nhất 1 lần.

c) Sai. Hàm số có cực trị khi $y' = 3ax^2 + 2bx + c = 0$ có 2 nghiệm phân biệt, tức là $\Delta' = b^2 - 3ac > 0$. Nếu $b^2 - 3ac \le 0$ thì hàm số không có cực trị. Ví dụ: $y=x^3$.

d) Sai. $\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$ nếu $a>0$ và $\lim_{x \to +\infty} y = -\infty$ nếu $a<0$. Chưa đủ thông tin về $a$.

Câu 7: (Phân tích dựa trên đồ thị được cung cấp)

a) Sai. Đồ thị có tiệm cận đứng là $x=1$. Do $a \neq 1$ (theo đề bài), nên TCĐ không phải $x=a$.

b) Sai. Đồ thị có tiệm cận ngang là $y=2$.

c) Đúng. Đồ thị có tiệm cận đứng là $x=1$.

d) Đúng. Đồ thị có tiệm cận ngang là $y=2$.

(Lưu ý: Có sự mâu thuẫn giữa dạng hàm số $y=\frac{x+1}{x-a}, a \neq 1$ (có TCĐ $x=a$, TCN $y=1$) và đồ thị được cho (có TCĐ $x=1$, TCN $y=2$). Đáp án dựa trên thông tin từ đồ thị.)

Câu 8: Cho hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 1$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x^4 - 2x^2 + 1 = 0$.

Đặt $t = x^2$ ($t \ge 0$). Phương trình trở thành $t^2 - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow (t-1)^2 = 0 \Leftrightarrow t = 1$.

Với $t=1 \Rightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$.

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

a) Sai.

b) Đúng. Đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt là $x=1$ và $x=-1$.

c) Sai.

d) Sai.