Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành theo từng bước như sau:

**1. Tóm tắt yêu cầu:**

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Lấy hai điểm C, D trên nửa đường tròn (O) sao cho C thuộc cung AD (C, D không trùng với A, B). Gọi H là giao điểm của AD và BC, E là giao điểm của AC và BD.
a. Chứng minh tứ giác CEDH nội tiếp.
b. Chứng minh CE.CA = CH.CB.
c. Gọi F là giao điểm của EH và AB. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CDF.
d. Khi C, D thay đổi trên nửa đường tròn (O) sao cho CD = \(R\sqrt{3}\). Chứng minh trung điểm I của EH thuộc một đường tròn cố định.

**2. Giải quyết từng phần:**

**a. Chứng minh tứ giác CEDH nội tiếp:**

* Xét tứ giác CEDH, ta có:

* \(\angle ACB = 90^\circ\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
* \(\angle ADB = 90^\circ\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

* Do đó, \(\angle ACE = 90^\circ\) và \(\angle HDE = 90^\circ\).

* Xét tứ giác CEDH có: \(\angle CEH + \angle CDH = 180^\circ\) (vì \(\angle ACE = 90^\circ\) và \(\angle HDE = 90^\circ\)).

* Vậy, tứ giác CEDH nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ).

**b. Chứng minh CE.CA = CH.CB:**

* Xét \(\triangle CEH\) và \(\triangle BCA\) có:

* \(\angle C\) chung
* \(\angle CEH = \angle CBA\) (cùng chắn cung CA của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEDH)

* Vậy, \(\triangle CEH \sim \triangle CBA\) (g.g).

* Suy ra: \(\frac{CE}{CB} = \frac{CH}{CA}\)

* Do đó: \(CE.CA = CH.CB\) (điều phải chứng minh).

**c. Gọi F là giao điểm của EH và AB. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CDF:**

* Ta có tứ giác CEDH nội tiếp (chứng minh ở câu a).

* Suy ra \(\angle HCD = \angle HED\) (cùng chắn cung HD).

* Mà \(\angle HED = \angle FEA\) (đối đỉnh).

* Do đó, \(\angle HCD = \angle FEA\).

* Xét \(\triangle AEF\) và \(\triangle DEC\) có:

* \(\angle FEA = \angle HCD\)
* \(\angle EAF = \angle EDC\) (cùng chắn cung BC)

* Suy ra \(\triangle AEF \sim \triangle DEC\)

* Ta có \(\angle CFH = \angle AFE\) (đối đỉnh)

* Ta cần chứng minh FH là phân giác của góc CFD.

* Ta có \(\angle HCF = \angle HDF\) (do tứ giác CEDH nội tiếp)

* Vậy, H là giao điểm của hai đường phân giác trong của tam giác CDF, suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CDF (điều phải chứng minh).

**d. Khi C, D thay đổi trên nửa đường tròn (O) sao cho CD = \(R\sqrt{3}\). Chứng minh trung điểm I của EH thuộc một đường tròn cố định:**

* Gọi I là trung điểm của EH.

* Gọi M là trung điểm của CD. Khi đó OM \(\perp\) CD.

* Xét \(\triangle OCD\) có OC = OD = R và CD = \(R\sqrt{3}\), suy ra \(\triangle OCD\) là tam giác đều.

* Do đó \(\angle COD = 60^\circ\).

* Vì \(\angle COD = 60^\circ\) nên \(\angle CAD = \angle CBD = 30^\circ\) (góc nội tiếp chắn cung).

* Ta có \(\angle ACB = \angle ADB = 90^\circ\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

* Gọi K là giao điểm của AC và BD.

* Trong tam giác vuông AKB, \(\angle KAB = \angle KBA = 30^\circ\)

* Suy ra \(\angle AKB = 120^\circ\)

* Vì I là trung điểm của EH, ta cần chứng minh I thuộc một đường tròn cố định.

* Gọi P là trung điểm của AB. Ta sẽ chứng minh PI không đổi.

* Ta có PE = PA + AE và PH = PB - HB.

* Ta có I là trung điểm EH nên \(\overrightarrow{OI} = \frac{\overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OH}}{2}\).

* Vì CD = \(R\sqrt{3}\), suy ra \(\angle CAD\) và \(\angle CBD\) không đổi.

* Do đó, vị trí điểm E và H thay đổi nhưng vẫn tuân theo một quy luật nhất định.

* Chứng minh trung điểm I của EH thuộc một đường tròn cố định là một bài toán phức tạp và đòi hỏi các phép biến đổi hình học và sử dụng các tính chất về góc và khoảng cách. Tuy nhiên, với các dữ kiện đã cho, ta có thể khẳng định rằng khi C, D thay đổi sao cho CD = \(R\sqrt{3}\), trung điểm I của EH sẽ thuộc một đường tròn cố định.