Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tính tổng \(S = \left(-\frac{1}{2}\right)^0 + \left(-\frac{1}{2}\right)^1 + \ldots + \left(-\frac{1}{2}\right)^{2019}\) một cách thuận tiện, ta nhận thấy đây là tổng của một cấp số nhân.

**Bước 1: Xác định các yếu tố của cấp số nhân**

* Số hạng đầu \(u_1 = \left(-\frac{1}{2}\right)^0 = 1\)
* Công bội \(q = -\frac{1}{2}\)
* Số số hạng \(n = 2020\) (từ 0 đến 2019 là 2020 số)

**Bước 2: Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân**

Tổng của \(n\) số hạng đầu của một cấp số nhân được tính theo công thức:
\[S_n = \frac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}\]

Trong trường hợp này:
\[S = \frac{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{2020}}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)}\]
\[S = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{2020}}{\frac{3}{2}}\]
\[S = \frac{2}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{2020}\right)\]

**Bước 3: Đơn giản hóa biểu thức**

Vì \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2020}\) là một số rất nhỏ, ta có thể viết gần đúng:
\[S \approx \frac{2}{3} \left(1 - 0\right)\]
\[S \approx \frac{2}{3}\]

Tuy nhiên, để có kết quả chính xác hơn, ta giữ nguyên biểu thức:
\[S = \frac{2}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{2020}\right)\]

**Kết luận:**

Tổng \(S = \left(-\frac{1}{2}\right)^0 + \left(-\frac{1}{2}\right)^1 + \ldots + \left(-\frac{1}{2}\right)^{2019}\) bằng \(\frac{2}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{2020}\right)\).

...Xem thêm

Answer 2

Để tính tổng \(S = \left(-\frac{1}{2}\right)^0 + \left(-\frac{1}{2}\right)^1 + \ldots + \left(-\frac{1}{2}\right)^{2019}\) một cách thuận tiện, ta nhận thấy đây là tổng của một cấp số nhân.

**Bước 1: Xác định các yếu tố của cấp số nhân**

* Số hạng đầu \(u_1 = \left(-\frac{1}{2}\right)^0 = 1\)
* Công bội \(q = -\frac{1}{2}\)
* Số số hạng \(n = 2020\) (từ 0 đến 2019 là 2020 số)

**Bước 2: Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân**

Tổng của \(n\) số hạng đầu của một cấp số nhân được tính theo công thức:
\[S_n = \frac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}\]

Trong trường hợp này:
\[S = \frac{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{2020}}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)}\]
\[S = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{2020}}{\frac{3}{2}}\]
\[S = \frac{2}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{2020}\right)\]

**Bước 3: Đơn giản hóa biểu thức**

Vì \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2020}\) là một số rất nhỏ, ta có thể viết gần đúng:
\[S \approx \frac{2}{3} \left(1 - 0\right)\]
\[S \approx \frac{2}{3}\]

Tuy nhiên, để có kết quả chính xác hơn, ta giữ nguyên biểu thức:
\[S = \frac{2}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{2020}\right)\]

**Kết luận:**

Tổng \(S = \left(-\frac{1}{2}\right)^0 + \left(-\frac{1}{2}\right)^1 + \ldots + \left(-\frac{1}{2}\right)^{2019}\) bằng \(\frac{2}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{2020}\right)\).

Answer 3

Để tính tổng \( S = \sum_{k=0}^{2019} \left(-\frac{1}{2}\right)^k \), chúng ta nhận thấy đây là một dạng của tổng số hạng trong dãy số hình học.

Tổng của một dãy số hình học có công bội \( r \) và số hạng đầu \( a \) được tính bằng công thức:

\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Trong trường hợp này:
- \( a = 1 \) (hạng đầu là \( (-\frac{1}{2})^0 = 1 \))
- \( r = -\frac{1}{2} \)
- Số hạng cuối trong tổng này là \( n = 2019 \) (chúng ta có tổng từ k = 0 đến k = 2019)

Áp dụng công thức vào:

\[
S = 1 \cdot \frac{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{2020}}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)}
\]

Trước hết, tính \( 1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{2020} \):

Vì \( (-\frac{1}{2})^{2020} = \frac{1}{2^{2020}} \) (số mũ chẵn nên kết quả dương), chúng ta có:

\[
1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{2020} = 1 - \frac{1}{2^{2020}}
\]

Bây giờ tính \( 1 - (-\frac{1}{2}) \):

\[
1 - (-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
\]

Thay vào công thức tổng:

\[
S = \frac{1 - \frac{1}{2^{2020}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \left(1 - \frac{1}{2^{2020}}\right)
\]

Cuối cùng, rút gọn ra:

\[
S = \frac{2}{3} \left(1 - \frac{1}{2^{2020}}\right) = \frac{2}{3} - \frac{2}{3 \cdot 2^{2020}}
\]

Đó là kết quả cuối cùng:

\[
S = \frac{2}{3} - \frac{2}{3 \cdot 2^{2020}}
\]