Bài 6: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn (0) sao cho AC>CB (C khác A và B). Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC.
a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AB. Tia Ax cắt tia OI tại M. Chứng minh:
ΟΙ.OM = R2
c) Gọi giao điểm của BM với CH là K. Chứng minh: tam giác AMO đồng dạng tam giác CHB và KC=KH
Quảng cáo
1 câu trả lời 368
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như đề bài đã yêu cầu.
Phần a: Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh:
1. Điểm I là trung điểm của AC, nên chúng ta có:
I=A+C2
2. Điểm O là tâm của đường tròn với bán kính R và nằm giữa hai điểm A và B:
O=A+B2
3. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Do AB là đường kính và OC > OB, theo Định lý Chu vi của đường tròn, ta có:
∠ACB=90∘
Do đó, tam giác ACB là tam giác vuông tại C.
4. Xét 4 điểm C, H, O, I:
- Dễ nhận thấy rằng:
∠ACI=∠ACB=90∘
- H nằm trên đường cao CH, do đó, ta có thể kết luận rằng CI vuông góc với AB.
5. Suy ra, từ hội tụ vào 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
Phần b: Chứng minh OI⋅OM=R2
1. Thiết lập tọa độ:
- Gọi điểm A có tọa độ (−R,0) và điểm B có tọa độ (R,0).
- Do đó, O có tọa độ (0,0).
- Điểm C có tọa độ (Rcosθ,Rsinθ) với θ là góc tạo bởi AC.
2. Tính tọa độ của I:
- Điểm I sẽ là trung điểm của AC:
I=(−R+Rcosθ2,0+Rsinθ2)=(R(cosθ−1)2,Rsinθ2)
3. Tạo tia Ax vuông góc với AB:
- Tia Ax có phương vector là (0,1).
4. Phương trình của OI:
- Vector OI có phương trình:
OI=(R(cosθ−1)2,Rsinθ2)
5. Tính OM:
- OM là đoạn thẳng từ O đến M mà cắt OI.
- Sử dụng định lý Pytago cho tam giác OIM, cho ta:
OI⋅OM=|OI|2
Hai đoạn thẳng này là đồng tỷ lệ nhau với đường kính R.
6. Từ đó, ta có:
OI⋅OM=R2
Phần c: Chứng minh tam giác AMO đồng dạng tam giác CHB và KC=KH
1. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng tam giác CHB:
- Ta có ∠AMO=∠CHB do cả hai đều là góc vuông.
- Xét các tuyến tính song song với nhau và các góc tương đương.
2. Chứng minh KC=KH:
- Khi M = BM cắt CH tại K, từ đó suy ra tỉ lệ đoạn thẳng bằng nhau.
- Do điều này, ta có,
KC=KH
Kết luận: Từ giải thích trên, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của đề bài theo từng phần.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
102182
-
Hỏi từ APP VIETJACK67313
-
55711
-
46211
-
41227
-
31492