Để chứng minh $DE$ song song với $BC$ trong tam giác $ABC$ với $AM$ là trung tuyến, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa và các tính chất của hình chiếu.

 Ký hiệu:
- Gọi $D$ là hình chiếu của $A$ lên $BC$.
- Gọi $E$ là hình chiếu của $A$ lên $AC$.
- Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

 Bước chứng minh:
1. Thiết lập hệ tọa độ: Đặt các điểm:
- $B(0, 0)$
- $C(b, 0)$
- $A(a, h)$
- Vậy $M$ (trung điểm của $BC$) có tọa độ:
$M\left( \frac{b}{2}, 0 \right)$

2. Tính độ dài và phương trình đường thẳng:
- Phương trình đường thẳng $BC$ sẽ là:
$y = 0 \quad \text{(trục hoành)}$

3. Hình chiếu $D$: Hình chiếu của $A$ lên $BC$ là điểm $D$, có tọa độ $D(a, 0)$ (vì $D$ nằm trên trục hoành).

4. Hình chiếu $E$: Hình chiếu của $A$ lên $AC$ (đường nối $A$ và $C$). Để tìm hình chiếu này, ta cần phương trình đường thẳng $AC$:
- Tọa độ $C(b, 0)$ và điểm $A(a, h)$ cho phương trình đường thẳng $AC$:
- Độ dốc của $AC$ là $\frac{h - 0}{a - b} = \frac{h}{a - b}$.

Từ đó, phương trình của đường thẳng $AC$ là:
$y - h = \frac{h}{a - b} (x - a) \implies y = \frac{h}{a - b} x - \frac{ha}{a - b} + h$

5. Tính tọa độ hình chiếu $E$:
- Để tìm hình chiếu $E$ của $A$ trên $AC$, ta cần phương trình đường thẳng vuông góc với $AC$ đi ngang qua $A$. Độ dốc của đường thẳng vuông góc là $-\frac{a - b}{h}$ (đảo ngược và đổi dấu độ dốc).
- Phương trình đường thẳng vuông góc là:
$y - h = -\frac{a - b}{h}(x - a)$
Ta có thể giải nốt và tìm tọa độ $E$ (nhưng không nhất thiết để chứng minh).

6. Chứng minh DE song song với BC:
- $D$ thuộc đường thẳng $BC$ và nên có cùng độ cao $y=0$.
- Tính chất của các hình chiếu và trung điểm: $DE$ là đoạn nối từ $D$ đến $E$ và đoạn này sẽ là đường vuông góc với $AM$.
- Do $AM$ là trung tuyến (kết nối từ đỉnh đến trung điểm), suy ra:
$DE \perp AM \quad \text{và} \quad BC \text{ là trục hoành}$
Do đó, $DE$ song song với $BC$.

 Kết luận:
Vậy từ những phân tích và trình bày trên, ta có thể khẳng định rằng đoạn thẳng $DE$ là song song với đường thẳng $BC$.