Chắc chắn rồi, tôi sẽ giúp bạn giải hai bài toán hình học không gian này:

Câu 2: Hình chóp S.ABC vuông cân tại B, AB = a, SA = 2a, SA ⊥ (ABC), H là hình chiếu của A trên SB.

a) Chứng minh BC ⊥ (SAB):

Vì tam giác ABC vuông cân tại B, nên BC ⊥ AB.
Vì SA ⊥ (ABC), nên SA ⊥ BC.
BC ⊥ AB và BC ⊥ SA, suy ra BC ⊥ (SAB).
b) Chứng minh AH ⊥ (SBC):

Vì BC ⊥ (SAB) (cmt), nên BC ⊥ AH.
Vì AH là hình chiếu của A trên SB, nên AH ⊥ SB.
AH ⊥ SB và AH ⊥ BC, suy ra AH ⊥ (SBC).
c) Tính góc giữa SB và mp(ABC):

Góc giữa SB và mp(ABC) là góc SBA.
Tam giác SAB vuông tại A, có SA = 2a, AB = a.
tan(SBA) = SA / AB = 2a / a = 2
Suy ra góc SBA = arctan(2) ≈ 63.43°
Câu 3: Hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = 3a.

a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC):

Vì ABCD là hình vuông, nên BC ⊥ AB. Vì SA ⊥ (ABCD), nên SA ⊥ BC.
BC ⊥ AB và BC ⊥ SA, suy ra BC ⊥ (SAB).
Tương tự, CD ⊥ AD và CD ⊥ SA, suy ra CD ⊥ (SAD).
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông, nên BD ⊥ AC.
Vì SA ⊥ (ABCD), nên SA ⊥ BD.
BD ⊥ AC và BD ⊥ SA, suy ra BD ⊥ (SAC).
b) Tính góc giữa SB và mp(ABCD):

Góc giữa SB và mp(ABCD) là góc SBA.
Tam giác SAB vuông tại A, có SA = 3a, AB = a.
tan(SBA) = SA / AB = 3a / a = 3
Suy ra góc SBA = arctan(3) ≈ 71.57°
c) Tính góc giữa SC và mp(ABCD):

Góc giữa SC và mp(ABCD) là góc SCA.
Tam giác SAC vuông tại A, có SA = 3a, AC = a√2 (đường chéo hình vuông).
tan(SCA) = SA / AC = 3a / (a√2) = 3 / √2 = 3√2 / 2
Suy ra góc SCA = arctan(3√2 / 2) ≈ 64.76°
Hy vọng lời giải này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán hình học không gian.

 Câu 2

Cho hình chóp $S.ABC$ với tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, $AB = a$, $SA = 2a$, và cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABC)$.

a. Chứng minh: $BC \perp (SAB)$

Gọi tọa độ các điểm như sau:

- $A(0, 0, 0)$
- $B(a, 0, 0)$
- $C(0, a, 0)$
- $S(0, 0, 2a)$

Vector $\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)$ và $\overrightarrow{AC} = (0, a, 0)$.

Tính vector $\overrightarrow{BC} = (-a, a, 0)$.

Tính vector $\overrightarrow{SA} = (0, 0, 2a)$.

Vectors $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{SA}$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$.

Tính tích vô hướng giữa $\overrightarrow{BC}$ và mặt phẳng $(SAB)$ bằng tích dấu:

$\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \cdot (-a) + 0 \cdot a + 2a \cdot 0 = 0.$

Vậy $BC \perp (SAB)$.

b. Chứng minh: $AH \perp (SBC)$

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$.

Vector $\overrightarrow{SB} = (a, 0, -2a)$ và $\overrightarrow{AH}$ là chiều cao từ $A$ đến $SB$.

Tính tích vô hướng:

$\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{SB} = 0.$

Khi đó, $AH \perp (SBC)$.

c. Tính góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$

Góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc giữa vector $\overrightarrow{SB}$ và một vector nào trong mặt phẳng $(ABC)$.

Vector trong mặt phẳng: $\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)$.

Công thức tính $\cos \theta$:

$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{SB}| |\overrightarrow{AB}|}.$

Tính $|\overrightarrow{SB}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + (-2a)^2} = \sqrt{5} a$.

Tính $|\overrightarrow{AB}| = a$.

Tích vô hướng:

$\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{AB} = (a)(-a) + 0 + (-2a)(0) = -a^2.$

Vậy:

$\cos \theta = \frac{-a^2}{\sqrt{5} a^2} = -\frac{1}{\sqrt{5}}.$

Góc $\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$.

Câu 3

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ và cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy $(ABCD)$, $SA = 3a$.

a. Chứng minh: $BC \perp (SAB), CD \perp (SAD), BD \perp (SAC)$

- Giả sử $A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$, $D(0, a, 0)$, và $S\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 3a\right)$.

Vector:

- $\overrightarrow{SB} = (a - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a}{2}, 0 - 3a) = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -3a\right)$

Và các vector như $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{BD}$ trong các mặt phẳng tương ứng. Tính tích vô hướng sẽ cho thấy các vector trên vuông góc với mặt phẳng tương ứng.

b. Tính góc giữa $SB$ và mặt phẳng $ABCD$

Tính toán tương tự như câu 2, với một vector trong mặt phẳng đáy (ví dụ $\overrightarrow{AB}$):

- Tích vô hướng tương tự cho vector $SB$ cho thấy góc là $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)$.

c. Tính góc giữa $SC$ và mặt phẳng $ABCD$

Tiến hành tương tự như trên.

Mong rằng các hướng dẫn này giúp bạn trong việc tìm hiểu và chứng minh tính chất của các hình chóp đã cho!