Chắc chắn rồi, tôi sẽ giúp bạn giải hai bài toán hình học không gian này:

Câu 2: Hình chóp S.ABC vuông cân tại B, AB = a, SA = 2a, SA ⊥ (ABC), H là hình chiếu của A trên SB.

a) Chứng minh BC ⊥ (SAB):

Vì tam giác ABC vuông cân tại B, nên BC ⊥ AB.
Vì SA ⊥ (ABC), nên SA ⊥ BC.
BC ⊥ AB và BC ⊥ SA, suy ra BC ⊥ (SAB).
b) Chứng minh AH ⊥ (SBC):

Vì BC ⊥ (SAB) (cmt), nên BC ⊥ AH.
Vì AH là hình chiếu của A trên SB, nên AH ⊥ SB.
AH ⊥ SB và AH ⊥ BC, suy ra AH ⊥ (SBC).
c) Tính góc giữa SB và mp(ABC):

Góc giữa SB và mp(ABC) là góc SBA.
Tam giác SAB vuông tại A, có SA = 2a, AB = a.
tan(SBA) = SA / AB = 2a / a = 2
Suy ra góc SBA = arctan(2) ≈ 63.43°
Câu 3: Hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = 3a.

a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC):

Vì ABCD là hình vuông, nên BC ⊥ AB. Vì SA ⊥ (ABCD), nên SA ⊥ BC.
BC ⊥ AB và BC ⊥ SA, suy ra BC ⊥ (SAB).
Tương tự, CD ⊥ AD và CD ⊥ SA, suy ra CD ⊥ (SAD).
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông, nên BD ⊥ AC.
Vì SA ⊥ (ABCD), nên SA ⊥ BD.
BD ⊥ AC và BD ⊥ SA, suy ra BD ⊥ (SAC).
b) Tính góc giữa SB và mp(ABCD):

Góc giữa SB và mp(ABCD) là góc SBA.
Tam giác SAB vuông tại A, có SA = 3a, AB = a.
tan(SBA) = SA / AB = 3a / a = 3
Suy ra góc SBA = arctan(3) ≈ 71.57°
c) Tính góc giữa SC và mp(ABCD):

Góc giữa SC và mp(ABCD) là góc SCA.
Tam giác SAC vuông tại A, có SA = 3a, AC = a√2 (đường chéo hình vuông).
tan(SCA) = SA / AC = 3a / (a√2) = 3 / √2 = 3√2 / 2
Suy ra góc SCA = arctan(3√2 / 2) ≈ 64.76°
Hy vọng lời giải này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán hình học không gian.

 Câu 2

Cho hình chóp \( S.ABC \) với tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( B \), \( AB = a \), \( SA = 2a \), và cạnh bên \( SA \) vuông góc với mặt phẳng đáy \( (ABC) \).

a. Chứng minh: \( BC \perp (SAB) \)

Gọi tọa độ các điểm như sau:

- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(0, a, 0) \)
- \( S(0, 0, 2a) \)

Vector \( \overrightarrow{AB} = (a, 0, 0) \) và \( \overrightarrow{AC} = (0, a, 0) \).

Tính vector \( \overrightarrow{BC} = (-a, a, 0) \).

Tính vector \( \overrightarrow{SA} = (0, 0, 2a) \).

Vectors \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{SA} \) nằm trong mặt phẳng \( (SAB) \).

Tính tích vô hướng giữa \( \overrightarrow{BC} \) và mặt phẳng \( (SAB) \) bằng tích dấu:

\[
\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \cdot (-a) + 0 \cdot a + 2a \cdot 0 = 0.
\]

Vậy \( BC \perp (SAB) \).

b. Chứng minh: \( AH \perp (SBC) \)

Gọi \( H \) là hình chiếu của \( A \) trên \( SB \).

Vector \( \overrightarrow{SB} = (a, 0, -2a) \) và \( \overrightarrow{AH} \) là chiều cao từ \( A \) đến \( SB \).

Tính tích vô hướng:

\[
\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{SB} = 0.
\]

Khi đó, \( AH \perp (SBC) \).

c. Tính góc giữa \( SB \) và mặt phẳng \( (ABC) \)

Góc giữa \( SB \) và \( (ABC) \) là góc giữa vector \( \overrightarrow{SB} \) và một vector nào trong mặt phẳng \( (ABC) \).

Vector trong mặt phẳng: \( \overrightarrow{AB} = (a, 0, 0) \).

Công thức tính \( \cos \theta \):

\[
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{SB}| |\overrightarrow{AB}|}.
\]

Tính \( |\overrightarrow{SB}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + (-2a)^2} = \sqrt{5} a \).

Tính \( |\overrightarrow{AB}| = a \).

Tích vô hướng:

\[
\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{AB} = (a)(-a) + 0 + (-2a)(0) = -a^2.
\]

Vậy:

\[
\cos \theta = \frac{-a^2}{\sqrt{5} a^2} = -\frac{1}{\sqrt{5}}.
\]

Góc \( \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \).

Câu 3

Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy là hình vuông cạnh \( a \) và cạnh bên \( SA \) vuông góc với đáy \( (ABCD) \), \( SA = 3a \).

a. Chứng minh: \( BC \perp (SAB), CD \perp (SAD), BD \perp (SAC) \)

- Giả sử \( A(0, 0, 0) \), \( B(a, 0, 0) \), \( C(a, a, 0) \), \( D(0, a, 0) \), và \( S\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 3a\right) \).

Vector:

- \( \overrightarrow{SB} = (a - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a}{2}, 0 - 3a) = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -3a\right) \)

Và các vector như \( \overrightarrow{BC} \), \( \overrightarrow{CD} \), \( \overrightarrow{BD} \) trong các mặt phẳng tương ứng. Tính tích vô hướng sẽ cho thấy các vector trên vuông góc với mặt phẳng tương ứng.

b. Tính góc giữa \( SB \) và mặt phẳng \( ABCD \)

Tính toán tương tự như câu 2, với một vector trong mặt phẳng đáy (ví dụ \( \overrightarrow{AB} \)):

- Tích vô hướng tương tự cho vector \( SB \) cho thấy góc là \( \theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right) \).

c. Tính góc giữa \( SC \) và mặt phẳng \( ABCD \)

Tiến hành tương tự như trên.

Mong rằng các hướng dẫn này giúp bạn trong việc tìm hiểu và chứng minh tính chất của các hình chóp đã cho!