Để giải phương trình \( \sin(5x) = \cos(x) \), ta có thể sử dụng công thức biến đổi để đưa về dạng tương đương. Ta biết rằng \( \cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \). Do đó, ta có:

\[
\sin(5x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)
\]

Phương trình này cho ta hai trường hợp:

1. \( 5x = \frac{\pi}{2} - x + 2k\pi \) (với \( k \in \mathbb{Z} \))
2. \( 5x = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 2k\pi \) (với \( k \in \mathbb{Z} \))

### Tìm nghiệm cho trường hợp 1
Giải phương trình:
\[
5x + x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]
\[
6x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]
\[
x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3}
\]

### Tìm nghiệm cho trường hợp 2
Giải phương trình:
\[
5x = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 2k\pi
\]
\[
5x = \pi - \frac{\pi}{2} + x + 2k\pi
\]
\[
5x - x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]
\[
4x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]
\[
x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}
\]

### Kết quả
Hai hệ nghiệm mà ta tìm được là:
1. \( x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3} \)
2. \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \)

Theo đó, đáp án chính xác là:
**D.**
\[
\begin{cases}
x = \frac{\pi}{12} + k\frac{\pi}{3} \\
x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})
\end{cases}
\]