Để giải phương trình $\sin(5x) = \cos(x)$, ta có thể sử dụng công thức biến đổi để đưa về dạng tương đương. Ta biết rằng $\cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$. Do đó, ta có:

$\sin(5x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$

Phương trình này cho ta hai trường hợp:

1. $5x = \frac{\pi}{2} - x + 2k\pi$ (với $k \in \mathbb{Z}$)
2. $5x = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 2k\pi$ (với $k \in \mathbb{Z}$)

### Tìm nghiệm cho trường hợp 1
Giải phương trình:
$5x + x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
$6x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3}$

### Tìm nghiệm cho trường hợp 2
Giải phương trình:
$5x = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 2k\pi$
$5x = \pi - \frac{\pi}{2} + x + 2k\pi$
$5x - x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
$4x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$

### Kết quả
Hai hệ nghiệm mà ta tìm được là:
1. $x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3}$
2. $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$

Theo đó, đáp án chính xác là:
**D.**
$\begin{cases} x = \frac{\pi}{12} + k\frac{\pi}{3} \\ x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) \end{cases}$