Để giải các yêu cầu của bài toán sử dụng định lý Vieta, trước tiên ta cần xác định các hệ số của phương trình:

\[
-3x^2 - 5x - 2 = 0.
\]

Phương trình này có dạng:

\[
ax^2 + bx + c = 0, \text{ với } a = -3, b = -5, c = -2.
\]

Theo định lý Vieta:

- Tổng hai nghiệm \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} \),
- Tích hai nghiệm \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3} \).

Bây giờ ta sẽ lần lượt tính các giá trị yêu cầu.

### a) Tính \( A = x_1^2 + x_2^2 \)

Theo công thức, ta có:

\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2.
\]

Thay vào các giá trị đã biết:

\[
A = \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{2}{3}.
\]
\[
= \frac{25}{9} - \frac{4}{3}.
\]
\[
= \frac{25}{9} - \frac{12}{9} = \frac{13}{9}.
\]

### b) Tính \( B = x_1^3 + x_2^3 \)

Sử dụng công thức:

\[
x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 + x_2^2 - x_1 x_2).
\]

Chúng ta đã tính được \( x_1^2 + x_2^2 \) và chúng ta biết \( x_1 + x_2 \) và \( x_1 x_2 \):

\[
B = \left(\frac{5}{3}\right) \left( \frac{13}{9} - \frac{2}{3} \right).
\]

Làm đơn giản phần trong ngoặc:

\[
B = \left(\frac{5}{3}\right) \left( \frac{13}{9} - \frac{6}{9} \right) = \left(\frac{5}{3}\right) \left( \frac{7}{9} \right).
\]
\[
= \frac{35}{27}.
\]

### c) Tính \( M = x_1 + \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + x_2 \)

Ta có thể viết lại:

\[
M = (x_1 + x_2) + \left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\right) = (x_1 + x_2) + \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}.
\]

Thay \( x_1 + x_2 \) và \( x_1 x_2 \):

\[
M = \frac{5}{3} + \frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{5}{3} + \frac{5}{2}.
\]

Để cộng hai phân số này:

\[
M = \frac{5}{3} + \frac{15}{6} = \frac{10}{6} + \frac{15}{6} = \frac{25}{6}.
\]

### d) Tính \( N = \frac{1}{x_1 + 3} + \frac{1}{x_2 + 3} \)

Đưa về chung:

\[
N = \frac{x_2 + 3 + x_1 + 3}{(x_1 + 3)(x_2 + 3)} = \frac{(x_1 + x_2) + 6}{(x_1 + 3)(x_2 + 3)}.
\]

Tính \( (x_1 + 3)(x_2 + 3) \):

\[
= x_1 x_2 + 3(x_1 + x_2) + 9 = \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{5}{3} + 9 = \frac{2}{3} + \frac{15}{3} + \frac{27}{3} = \frac{44}{3}.
\]

Vậy ta có:

\[
N = \frac{\frac{5}{3} + 6}{\frac{44}{3}} = \frac{\frac{5 + 18}{3}}{\frac{44}{3}} = \frac{23}{44}.
\]

### e) Tính \( P = \frac{x_1 - 3}{x_1^2} + \frac{x_2 - 3}{x_2^2} \)

Viết lại:

\[
P = \frac{x_1}{x_1^2} - \frac{3}{x_1^2} + \frac{x_2}{x_2^2} - \frac{3}{x_2^2} = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} - 3\left(\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}\right).
\]

Với:

\[
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{5}{2}.
\]

Còn \( \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} \):

\[
= \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2} = \frac{\frac{13}{9}}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{13}{9}}{\frac{4}{9}} = \frac{13}{4}.
\]

Vậy chúng ta có:

\[
P = \frac{5}{2} - 3\left(\frac{13}{4}\right) = \frac{5}{2} - \frac{39}{4}.
\]
\[
= \frac{10}{4} - \frac{39}{4} = -\frac{29}{4}.
\]

### f) Tính \( Q = \frac{x_1}{x_2 + 2} + \frac{x_2}{x_1 + 2} \)

Viết lại:

\[
Q = \frac{x_1(x_1 + 2) + x_2(x_2 + 2)}{(x_1 + 2)(x_2 + 2)} = \frac{x_1^2 + x_1 \cdot 2 + x_2^2 + x_2 \cdot 2}{(x_1 + 2)(x_2 + 2)}.
\]

Tính \( x_1^2 + x_2^2 + 2(x_1 + x_2) = \frac{13}{9} + 2 \cdot \frac{5}{3} = \frac{13}{9} + \frac{30}{9} = \frac{43}{9} \).

Còn \( (x_1 + 2)(x_2 + 2) = x_1 x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4 = \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{5}{3} + 4 = \frac{2}{3} + \frac{10}{3} + \frac{12}{3} = \frac{24}{3} = 8 \).

Kết quả là:

\[
Q = \frac{\frac{43}{9}}{8} = \frac{43}{72}.
\]

### Kết luận

Sau khi thực hiện tất cả các phép tính, chúng ta có các giá trị:

- \( A = \frac{13}{9} \)
- \( B = \frac{35}{27} \)
- \( M = \frac{25}{6} \)
- \( N = \frac{23}{44} \)
- \( P = -\frac{29}{4} \)
- \( Q = \frac{43}{72} \)