Để chứng minh các kết luận trên, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất hình học trong tam giác và cách thức nửa đường phân chia.

a) Chứng minh O là trung điểm của AD:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Theo định nghĩa, trọng tâm G là điểm giao nhau của các đường trung tuyến và chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1. Do đó, có:

AG=23ADAG = \frac{2}{3} ADAG=32​AD
GD=13ADGD = \frac{1}{3} ADGD=31​AD

Xét đoạn thẳng BM, ta có BM cắt AD tại O. Theo tính chất của trọng tâm, O cũng phải nằm trên đường trung tuyến AD.

Gọi A, B, C là tọa độ tương ứng của các điểm A, B, C. Nếu G là trọng tâm, theo tỉ lệ, và M là một điểm trên AC, thì vị trí của O được xác định bởi giao điểm của tất cả các vector từ B và M với AD.

Tính chất của đường trung tuyến cho thấy, vì O nằm trên AD và BM, mà AM:MC = 1:2 (từ giả thiết), đồng nghĩa với B và D tạo thành một tam giác cân tại O.

Vì G là trung điểm chia đường trung tuyến AD ra 2:1 và O cũng nằm trên AD cho thấy O là trung điểm của AD.

b) Chứng minh OM = 1/4 BM:

Để chứng minh tỉ số này, ta sẽ sử dụng định lý Menelaus.

Vì M là điểm trên AC, ta có tỉ lệ:

AMMC=12\frac{AM}{MC} = \frac{1}{2}MCAM​=21​

Dựa vào định lý Menelaus, cho tam giác ABM có cạnh AC là một đường thẳng, với điểm M trên AC:

Ta có:

AOOD⋅DBBM⋅MCCA=1\frac{AO}{OD} \cdot \frac{DB}{BM} \cdot \frac{MC}{CA} = 1ODAO​⋅BMDB​⋅CAMC​=1

Với AOOD=12\frac{AO}{OD} = \frac{1}{2}ODAO​=21​ (vì O là trung điểm của AD) và từ đó thì:

DBBM⋅1=1\frac{DB}{BM} \cdot 1 = 1BMDB​⋅1=1

Từ tỉ số này suy ra:

OMMB=1/4\frac{OM}{MB} = 1/4MBOM​=1/4

Suy ra rằng:

OM=14BMOM = \frac{1}{4} BMOM=41​BM

Như vậy ta đã chứng minh được cả hai điều cần chứng minh.