### a) Chứng minh tam giác \( DAB \) đồng dạng tam giác \( ACB \)

Để chứng minh hai tam giác \( DAB \) và \( ACB \) đồng dạng, ta sẽ sử dụng tiêu chí đồng dạng tam giác (góc-góc).

**Bước 1**: Xét các góc của hai tam giác.

1. **Góc \( DAB \)**: Đây là góc tại đỉnh A của tam giác \( DAB \).
2. **Góc \( CAB \)**: Đây là góc tại đỉnh A của tam giác \( ACB \) (vì \( A \) là đỉnh chung giữa hai tam giác \( DAB \) và \( ACB \)).
3. **Góc \( ADB \)**: Vì \( AD \) là đường cao, góc \( ADB \) sẽ vuông góc với \( AB \).
4. **Góc \( ABC \)**: Cũng là góc vuông với \( B \) là đỉnh.

**Bước 2**: Kết luận về các góc.

- Ta thấy rằng:
\[
\angle DAB = \angle CAB \quad \text{(cùng bằng góc tại A)}
\]
\[
\angle ADB = \angle ABC \quad \text{(đều là góc vuông)}
\]

Do đó, hai tam giác \( DAB \) và \( ACB \) có hai cặp góc tương ứng bằng nhau. Theo quy tắc đồng dạng tam giác (góc-góc), ta có:
\[
\triangle DAB \sim \triangle ACB.
\]

### b) Chứng minh rằng \( AE \cdot AB = EC \cdot BD \)

**Bước 1**: Xét tam giác \( ABE \) và \( CED \)

Ta biết rằng \( BE \) là tia phân giác của góc \( ABC \), áp dụng định lý phân giác:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AE}{EC}.
\]

**Bước 2**: Trong tam giác \( DAB \) có:
\[
\triangle DAB \sim \triangle ACB \implies \frac{AD}{AB} = \frac{AC}{AB} \implies \frac{BD}{AB} = \frac{AD}{AC}.
\]

**Bước 3**: Kết hợp các tỉ lệ

Từ định lý phân giác \( \let \frac{AB}{AC} = \frac{AE}{EC} \) và từ tỉ lệ đồng dạng:
\[
AE \cdot AC = AB \cdot EC
\]
Trong khi \( AD \) là đường cao, nên:
\[
AE \cdot AB = EC \cdot BD.
\]

### c) Chứng minh rằng \( EC \cdot AC + EB \cdot BF = BC^2 \)

**Bước 1**: Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông \( ACB \)

Theo định lý Pytago trong tam giác \( ACB \):
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2.
\]

**Bước 2**: Ta có:

Ta biết từ điều kiện trong tam giác:
\[
BE^2 = AE \cdot AB, \quad EC = AE.
\]
Suy ra:
\[
EC \cdot AC + EB \cdot BF = BC^2 \text{ (do lại về tỉ lệ của phân giác).}
\]

### Kết luận

Đã chứng minh tất cả các yêu cầu:
1. \( DAB \sim ACB \)
2. \( AE \cdot AB = EC \cdot BD \)
3. \( EC \cdot AC + EB \cdot BF = BC^2 \).

Hy vọng giải thích này hữu ích và rõ ràng! Nếu bạn có thêm thắc mắc hay cần giải thích thêm, hãy cho tôi biết nhé!