Để chứng minh rằng các phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của mmm, chúng ta cần xem xét điều kiện của bách phân biệt trong các phương trình bậc hai. Một phương trình bậc hai có dạng ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi discriminant D=b2−4ac>0D = b^2 - 4ac > 0D=b2−4ac>0.

a) Chứng minh phương trình x2−2mx+2m−3=0x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0x2−2mx+2m−3=0
Bước 1: Xác định hệ số

Trong phương trình x2−2mx+(2m−3)=0x^2 - 2mx + (2m - 3) = 0x2−2mx+(2m−3)=0:

a=1a = 1a=1
b=−2mb = -2mb=−2m
c=2m−3c = 2m - 3c=2m−3
Bước 2: Tính discriminant

Tính DDD:
D=b2−4ac=(−2m)2−4⋅1⋅(2m−3)=4m2−4(2m−3)D = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m - 3) = 4m^2 - 4(2m - 3)D=b2−4ac=(−2m)2−4⋅1⋅(2m−3)=4m2−4(2m−3)
=4m2−8m+12= 4m^2 - 8m + 12=4m2−8m+12
=4(m2−2m+3)= 4(m^2 - 2m + 3)=4(m2−2m+3)

Bước 3: Xét dấu của DDD

Ta cần xét nghiệm m2−2m+3m^2 - 2m + 3m2−2m+3:

Để tìm nghiệm của biểu thức này, ta tính discriminant của m2−2m+3m^2 - 2m + 3m2−2m+3:
D′=(−2)2−4⋅1⋅3=4−12=−8D' = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8D′=(−2)2−4⋅1⋅3=4−12=−8
Bởi vì discriminant lớn hơn 0, phương trình m2−2m+3m^2 - 2m + 3m2−2m+3 không có nghiệm thực và hàm bậc hai này luôn dương.
Từ đó, ta có m2−2m+3>0m^2 - 2m + 3 > 0m2−2m+3>0 cho mọi giá trị của mmm, kéo theo:
D=4(m2−2m+3)>0D = 4(m^2 - 2m + 3) > 0D=4(m2−2m+3)>0

Kết luận: Phương trình x2−2mx+2m−3=0x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0x2−2mx+2m−3=0 luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của mmm.

b) Chứng minh phương trình x2−(m+2)x+(m−2)=0x^2 - (m + 2)x + (m - 2) = 0x2−(m+2)x+(m−2)=0
Bước 1: Xác định hệ số

Trong phương trình x2−(m+2)x+(m−2)=0x^2 - (m + 2)x + (m - 2) = 0x2−(m+2)x+(m−2)=0:

a=1a = 1a=1
b=−(m+2)b = -(m + 2)b=−(m+2)
c=m−2c = m - 2c=m−2
Bước 2: Tính discriminant

Tính DDD:
D=b2−4ac=(−(m+2))2−4⋅1⋅(m−2)=(m+2)2−4(m−2)D = b^2 - 4ac = (-(m + 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 2) = (m + 2)^2 - 4(m - 2)D=b2−4ac=(−(m+2))2−4⋅1⋅(m−2)=(m+2)2−4(m−2)
=m2+4m+4−4m+8= m^2 + 4m + 4 - 4m + 8=m2+4m+4−4m+8
=m2+12= m^2 + 12=m2+12

Bước 3: Xét dấu của DDD

Vì m2≥0m^2 \geq 0m2≥0 với mọi giá trị của mmm, ta có:
m2+12>0m^2 + 12 > 0m2+12>0
Vì vậy, D>0D > 0D>0 với mọi giá trị của mmm.

Kết luận: Phương trình x2−(m+2)x+(m−2)=0x^2 - (m + 2)x + (m - 2) = 0x2−(m+2)x+(m−2)=0 cũng luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của mmm.

Tóm tắt:
Cả hai phương trình đều luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của mmm:x2−2mx+2m−3=0x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0x2−2mx+2m−3=0
x2−(m+2)x+(m−2)=0x^2 - (m + 2)x + (m - 2) = 0x2−(m+2)x+(m−2)=0