Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp:

Tứ giác OAMB sẽ nội tiếp nếu tổng hai góc đối diện của nó bằng 180°.
Xét các góc:
$\angle OMA + \angle OBA = 180^\circ$ (vì OM là tiếp tuyến).
$\angle OMB + \angle OMA = 180^\circ$ (vì AM là tiếp tuyến).
Vì vậy, tứ giác OAMB là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $MB^2 = MC \cdot MN$:

Tia CM cắt đường tròn O tại điểm N.
Áp dụng định lý tiếp tuyến và định lý phân giác:
$\overline{MB}$ là tiếp tuyến tại M, nên $MB^2 = MC \cdot MN$ theo định lý tiếp tuyến.

Answer 2

Câu a) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp
Giả sử tam giác ABCABCABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn tâm OOO. Tứ giác OAMBOAMBOAMB là tứ giác có các đỉnh O,A,M,BO, A, M, BO,A,M,B. Chúng ta cần chứng minh rằng tứ giác OAMBOAMBOAMB là tứ giác nội tiếp, tức là các góc đối diện trong tứ giác này cộng lại bằng 180°.

Chứng minh:

Vì OOO là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABCABC, ta có OA=OB=ROA = OB = ROA=OB=R (R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp).
Ta biết rằng hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn đến đường tròn luôn có độ dài bằng nhau. Do đó, ta có OA=OBOA = OBOA=OB và AM=ABAM = ABAM=AB.
Từ định lý về góc ngoài tam giác (góc ngoài tại điểm MMM tạo bởi các tiếp tuyến MAMAMA và MBMBMB), ta có:

∠OMA=∠OBAvıˋgoˊc tieˆˊp tuyeˆˊn.\angle OMA = \angle OBA \quad \text{vì} \quad \text{góc tiếp tuyến}.∠OMA=∠OBAvıˋgoˊc tieˆˊp tuyeˆˊn.
Tương tự, ta có:

∠OMB=∠OACvıˋgoˊc tieˆˊp tuyeˆˊn.\angle OMB = \angle OAC \quad \text{vì} \quad \text{góc tiếp tuyến}.∠OMB=∠OACvıˋgoˊc tieˆˊp tuyeˆˊn.
Vậy, tổng của các góc đối diện trong tứ giác OAMBOAMBOAMB là 180∘180^\circ180∘, vì chúng tạo thành các cặp góc đối đỉnh trong một tứ giác nội tiếp. Do đó, tứ giác OAMBOAMBOAMB là tứ giác nội tiếp.

Câu b) Tia CMCMCM cắt đường tròn OOO tại điểm NNN, chứng minh MB2=MC⋅MNMB^2 = MC \cdot MNMB2=MC⋅MN
Ở đây, ta có tia CMCMCM cắt đường tròn OOO tại điểm NNN, và yêu cầu chứng minh rằng:

MB2=MC⋅MNMB^2 = MC \cdot MNMB2=MC⋅MNChứng minh:

Dùng định lý tiếp tuyến: Ta biết từ định lý về tiếp tuyến trong hình học Euclid rằng, với một điểm MMM ngoài đường tròn, nếu ta vẽ hai tiếp tuyến MAMAMA và MBMBMB từ MMM đến đường tròn thì:

MA2=MB2MA^2 = MB^2MA2=MB2
Định lý secant-tangent: Ta áp dụng định lý secant-tangent (hay định lý secant-tangent cho đoạn cắt đường tròn), định lý này phát biểu rằng, nếu một secant CMCMCM cắt đường tròn tại NNN và tiếp xúc với đường tròn tại BBB, thì:

MB2=MC⋅MNMB^2 = MC \cdot MNMB2=MC⋅MN
Áp dụng vào bài toán: Tia CMCMCM cắt đường tròn OOO tại điểm NNN, và tiếp tuyến MBMBMB cắt đường tròn tại điểm BBB, theo định lý secant-tangent ta có:

MB2=MC⋅MNMB^2 = MC \cdot MNMB2=MC⋅MN
Vậy ta đã chứng minh được kết quả yêu cầu.

Kết luận:
Câu a) Chứng minh tứ giác OAMBOAMBOAMB là tứ giác nội tiếp.
Câu b) Chứng minh MB2=MC⋅MNMB^2 = MC \cdot MNMB2=MC⋅MN sử dụng định lý secant-tangent.

...Xem thêm

Answer 3