Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng bước một:

Hình vẽ:

Tưởng tượng nửa đường tròn tâm OOO với đường kính AB=2RAB = 2RAB=2R.
Điểm AAA và BBB lần lượt là hai điểm trên nửa đường tròn.
Vẽ các tia AxAxAx và ByByBy là các tiếp tuyến đến nửa đường tròn tại AAA và BBB nằm cùng phía với nửa đường tròn.
Tọa độ:

Giả sử đặt A=(−R,0)A = (-R, 0)A=(−R,0) và B=(R,0)B = (R, 0)B=(R,0), do vậy O=(0,0)O = (0, 0)O=(0,0).
Vị trí của III là trung điểm của AOAOAO, do đó:
I=(−R+02,0+02)=(−R2,0).I = \left( \frac{-R+0}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = \left(-\frac{R}{2}, 0\right).I=(2−R+0​,20+0​)=(−2R​,0).
Phương trình tiếp tuyến:

Tia AxAxAx (tiếp tuyến tại AAA) có phương trình y=mAx+Ry = mAx + Ry=mAx+R với mAxmAxmAx là độ dốc của tia tiếp tuyến tại điểm AAA.
Tại A(−R,0)A (-R, 0)A(−R,0), đường tiếp tuyến tại AAA vuông góc với bán kính OAOAOA. Bán kính OAOAOA có độ dốc là 0−0−R−0=0\frac{0 - 0}{-R - 0} = 0−R−00−0​=0 (horizontal line).
Do đó, tia tiếp tuyến AxAxAx là một đường thẳng đứng, đi qua AAA với phương trình x=−Rx = -Rx=−R.
Tương tự, tia ByByBy tại BBB có phương trình x=Rx = Rx=R.
Điểm P,QP, QP,Q:

Chọn điểm PPP trên tia AxAxAx có tọa độ là (−R,py)(-R, p_y)(−R,py​), với pyp_ypy​ có thể nhận giá trị bất kỳ.
Chọn điểm QQQ trên tia ByByBy có tọa độ là (R,qy)(R, q_y)(R,qy​), với qyq_yqy​ có thể nhận giá trị bất kỳ.
Điều kiện vuông góc:

Ta có điều kiện PIQ=90∘PIQ = 90^\circPIQ=90∘:
P=(−R,py)P = (-R, p_y)P=(−R,py​) và Q=(R,qy)Q = (R, q_y)Q=(R,qy​).
Vectơ PI=I−P=(−R2−(−R),0−py)=(R2,−py)PI = I - P = \left(-\frac{R}{2} - (-R), 0 - p_y\right) = \left(\frac{R}{2}, -p_y\right)PI=I−P=(−2R​−(−R),0−py​)=(2R​,−py​).
Vectơ IQ=Q−I=(R−(−R2),qy−0)=(3R2,qy)IQ = Q - I = \left(R - \left(-\frac{R}{2}\right), q_y - 0\right) = \left(\frac{3R}{2}, q_y\right)IQ=Q−I=(R−(−2R​),qy​−0)=(23R​,qy​).
Tính độ dốc hai vectơ:

Để hai vectơ PIPIPI và IQIQIQ vuông góc, ta có:
R2⋅3R2+(−py)⋅qy=0,\frac{R}{2} \cdot \frac{3R}{2} + (-p_y) \cdot q_y = 0,2R​⋅23R​+(−py​)⋅qy​=0,
tức là:
3R24−pyqy=0⇒pyqy=3R24.\frac{3R^2}{4} - p_y q_y = 0 \Rightarrow p_y q_y = \frac{3R^2}{4}.43R2​−py​qy​=0⇒py​qy​=43R2​.
Hình chiếu HHH của III lên PQ:

Để tìm hình chiếu HHH trên đoạn thẳng PQPQPQ, bước này có thể tóm tắt công thức theo hình học vector và hệ tọa độ.
Tóm tắt:

Ta đã chỉ ra vị trí của các điểm và điều kiện về mối liên hệ giữa PPP và QQQ, từ đó xác định rằng hình chiếu HHH của III lên đường thẳng PQPQPQ có thể thực hiện dễ dàng bằng công thức hình chiếu qua việc xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng PQPQPQ, và giá trị cuối cùng sẽ phụ thuộc vào các giá trị cụ thể của pyp_ypy​ và qyq_yqy​.