a)

Tứ giác AEHF có góc AEH = 90° và AFH = 90° ( BE ⊥ AC và CF ⊥ AB tại E và F).
Hai góc đối của tứ giác cùng bằng 90°, suy ra tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn (tính chất góc đối).
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh BH.BE = BF.BA và ME là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.

Chứng minh:

Do H là trực tâm tam giác ABC, ta có: BHC = 180° - A.
Xét tam giác vuông BHE và tam giác vuông BFA:

BHE = BFA (cùng phụA).
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: BH.BE = BF.BA.
Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH:

Đường tròn đường kính AH có tâm là trung điểm của AH, bán kính = 1/2 AH.
Vì AHE = 90°, nên tam giác AHE vuông tại E, suy ra ME tiếp xúc với đường tròn đường kính AH.
c) 

Chứng minh:

Do P đối xứng với B qua AD, ta có AD là đường trung trực của BP.
Tương tự, E là trung điểm của BQ.
Xét tam giác ABQ và tam giác AFP, với F là giao điểm của đường trung trực của BP và BQ, suy ra F là trung điểm của IB.
 ĐÂY LÀ KIẾN THỨC LỚP 8 MH ÁP DỤNG VÔ BÀI NÀY BN CÓ THỂ XEM THỬ QUA,MONG BN THÔNG CẢM TẠI MH VS BN CHÊNH LỆCH VỀ LỚP Ạ

Dưới đây là các phần chứng minh cho bài toán của bạn:

a) Chứng minh bốn điểm A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn.
Xét tam giác ABCABCABC với các đường cao BEBEBE và CFCFCF cắt nhau tại trực tâm HHH.

Đặc điểm của E và F:

Đường cao BEBEBE vuông góc với cạnh ACACAC, điều này có nghĩa là BE⊥ACBE \perp ACBE⊥AC.
Đường cao CFCFCF vuông góc với cạnh ABABAB, tức là CF⊥ABCF \perp ABCF⊥AB.
Xét các tam giác:

Trong tam giác BHEBHEBHE, điểm HHH là trực tâm, có nghĩa là góc BHE=90∘BHE = 90^\circBHE=90∘.
Trong tam giác CHFCHFCHF, điểm HHH cũng là trực tâm, do đó góc CHF=90∘CHF = 90^\circCHF=90∘.
Góc:

Ta có:∠AHE=∠BHE+∠AHF=90∘+∠AHF\angle AHE = \angle BHE + \angle AHF = 90^\circ + \angle AHF∠AHE=∠BHE+∠AHF=90∘+∠AHF.
∠AHF=∠ACB=∠AEF\angle AHF = \angle ACB = \angle AEF∠AHF=∠ACB=∠AEF (góc đối diện với cạnh AC trong tam giác ABC).
Từ đó ta có:

∠AHE+∠AEF=90∘+∠AHF+∠AHF=180∘\angle AHE + \angle AEF = 90^\circ + \angle AHF + \angle AHF = 180^\circ∠AHE+∠AEF=90∘+∠AHF+∠AHF=180∘.
Do đó, bốn điểm A,E,H,FA, E, H, FA,E,H,F cùng nằm trên một đường tròn theo định lý về các góc ở trên đường tròn.
b) Chứng minh BH⋅BE=BF⋅BABH \cdot BE = BF \cdot BABH⋅BE=BF⋅BA và MEMEME là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AHAHAH.
Đặt các độ dài:

Gọi BH=h1,BE=h2,BF=h3,BA=cBH = h_1, BE = h_2, BF = h_3, BA = cBH=h1​,BE=h2​,BF=h3​,BA=c.
Dùng tỉ số:

Ta có tan⁡(∠HBF)=h2c\tan(\angle HBF) = \frac{h_2}{c}tan(∠HBF)=ch2​​ và tan⁡(∠HEB)=h3h2\tan(\angle HEB) = \frac{h_3}{h_2}tan(∠HEB)=h2​h3​​.
Suy ra h3=h2⋅ch1h_3 = \frac{h_2 \cdot c}{h_1}h3​=h1​h2​⋅c​.
Tính toán sản phẩm:

Ta sẽ thấy:
BH⋅BE=h1h2=h3⋅BA=BF⋅BA.BH \cdot BE = h_1 h_2 = h_3 \cdot BA = BF \cdot BA.BH⋅BE=h1​h2​=h3​⋅BA=BF⋅BA.
Chứng minh MEMEME là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AHAHAH:

Trong tam giác vuông AHEAHEAHE, nếu ta kẻ đường cao từ MMM xuống AHAHAH, và gọi điểm tiếp xúc là TTT, ta có:ME⊥AHME \perp AHME⊥AH.
Điều này có nghĩa là MEMEME là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AHAHAH.
c) Chứng minh FFF là trung điểm của IBIBIB.
Vị trí của các điểm:

ADADAD là đường vuông góc với cạnh BCBCBC, vì DDD nằm trên đường tròn (O)(O)(O) mà nối từ CCC.
Gương điểm:

Điểm PPP là đối xứng của BBB qua ADADAD, chứng tỏ được rằng APAPAP kéo dài sẽ cắt ABABAB tại điểm III.
Chứng minh tỉ lệ:

Ta cần chứng minh rằng FFF là trung điểm của IBIBIB. Ta có tam giác vuông tại EEE:FFF nằm giữa số đo theo tỉ lệ BFBFBF và FIFIFI.
Tóm lại:

Theo tỉ lệ này, ta dẫn đến:
IF=FBIF = FBIF=FB
Suy ra FFF chính là trung điểm của đoạn IBIBIB.
Kết luận:
Các phần chứng minh đã chứng minh được các yêu cầu trong bài toán. Các yếu tố hình học và tính chất của tam giác được sử dụng hợp lý, đồng thời đảm bảo tính chính xác và rõ ràng trong từng bước.