Đầu tiên, ta sẽ viết lại phương trình:

x2−2x+(m−2+m−3)=0x^2 - 2x + (m - 2 + m - 3) = 0x2−2x+(m−2+m−3)=0

Phương trình có dạng:

x2−2x+(2m−5)=0x^2 - 2x + (2m - 5) = 0x2−2x+(2m−5)=0

Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt x1x_1x1​ và x2x_2x2​, ta cần điều kiện của delta:

Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0Δ=b2−4ac>0

Với a=1a = 1a=1, b=−2b = -2b=−2, và c=2m−5c = 2m - 5c=2m−5:

Δ=(−2)2−4⋅1⋅(2m−5)=4−8m+20=24−8m\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m - 5) = 4 - 8m + 20 = 24 - 8mΔ=(−2)2−4⋅1⋅(2m−5)=4−8m+20=24−8m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta có:

24−8m>0  ⟹  m<324 - 8m > 0 \implies m < 324−8m>0⟹m<3

Tiếp theo, từ điều kiện thứ hai mà x1x_1x1​ và x2x_2x2​ thỏa mãn:

2−x1−x22−3=0  ⟹  2−x1−x22=3  ⟹  x1+x22=−12 - x_1 - x_2^2 - 3 = 0 \implies 2 - x_1 - x_2^2 = 3 \implies x_1 + x_2^2 = -12−x1​−x22​−3=0⟹2−x1​−x22​=3⟹x1​+x22​=−1

Theo quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai x2−2x+(2m−5)=0x^2 - 2x + (2m - 5) = 0x2−2x+(2m−5)=0, ta có:

x1+x2=2(tıˊch hợp với định lyˊ Vieˋte)x_1 + x_2 = 2 \quad \text{(tích hợp với định lý Viète)}x1​+x2​=2(tıˊch hợp với định lyˊ​ Vieˋte)

Ta có thể thể hiện x2x_2x2​ theo x1x_1x1​:

x2=2−x1x_2 = 2 - x_1x2​=2−x1​

Thay vào điều kiện thứ hai:

x1+(2−x1)2=−1x_1 + (2 - x_1)^2 = -1x1​+(2−x1​)2=−1

Giải phương trình này:

x1+(4−4x1+x12)=−1x_1 + (4 - 4x_1 + x_1^2) = -1x1​+(4−4x1​+x12​)=−1

Sắp xếp lại:

x12−3x1+5=0x_1^2 - 3x_1 + 5 = 0x12​−3x1​+5=0

Tính delta của phương trình này:

Δ′=(−3)2−4⋅1⋅5=9−20=−11\Delta' = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11Δ′=(−3)2−4⋅1⋅5=9−20=−11

Vì delta âm nên phương trình x12−3x1+5=0x_1^2 - 3x_1 + 5 = 0x12​−3x1​+5=0 không có nghiệm thực, điều này cho thấy không có giá trị mmm nào thỏa mãn cùng lúc cả hai điều kiện.

Do đó, sẽ không tồn tại giá trị mmm để thỏa mãn cả hai yếu tố đề bài đã cho.

Đầu tiên, ta sẽ viết lại phương trình:

x2−2x+(m−2+m−3)=0x^2 - 2x + (m - 2 + m - 3) = 0x2−2x+(m−2+m−3)=0

Phương trình có dạng:

x2−2x+(2m−5)=0x^2 - 2x + (2m - 5) = 0x2−2x+(2m−5)=0

Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt x1x_1x1​ và x2x_2x2​, ta cần điều kiện của delta:

Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0Δ=b2−4ac>0

Với a=1a = 1a=1, b=−2b = -2b=−2, và c=2m−5c = 2m - 5c=2m−5:

Δ=(−2)2−4⋅1⋅(2m−5)=4−8m+20=24−8m\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m - 5) = 4 - 8m + 20 = 24 - 8mΔ=(−2)2−4⋅1⋅(2m−5)=4−8m+20=24−8m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta có:

24−8m>0  ⟹  m<324 - 8m > 0 \implies m < 324−8m>0⟹m<3

Tiếp theo, từ điều kiện thứ hai mà x1x_1x1​ và x2x_2x2​ thỏa mãn:

2−x1−x22−3=0  ⟹  2−x1−x22=3  ⟹  x1+x22=−12 - x_1 - x_2^2 - 3 = 0 \implies 2 - x_1 - x_2^2 = 3 \implies x_1 + x_2^2 = -12−x1​−x22​−3=0⟹2−x1​−x22​=3⟹x1​+x22​=−1

Theo quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai x2−2x+(2m−5)=0x^2 - 2x + (2m - 5) = 0x2−2x+(2m−5)=0, ta có:

x1+x2=2(tıˊch hợp với định lyˊ Vieˋte)x_1 + x_2 = 2 \quad \text{(tích hợp với định lý Viète)}x1​+x2​=2(tıˊch hợp với định lyˊ​ Vieˋte)

Ta có thể thể hiện x2x_2x2​ theo x1x_1x1​:

x2=2−x1x_2 = 2 - x_1x2​=2−x1​

Thay vào điều kiện thứ hai:

x1+(2−x1)2=−1x_1 + (2 - x_1)^2 = -1x1​+(2−x1​)2=−1

Giải phương trình này:

x1+(4−4x1+x12)=−1x_1 + (4 - 4x_1 + x_1^2) = -1x1​+(4−4x1​+x12​)=−1

Sắp xếp lại:

x12−3x1+5=0x_1^2 - 3x_1 + 5 = 0x12​−3x1​+5=0

Tính delta của phương trình này:

Δ′=(−3)2−4⋅1⋅5=9−20=−11\Delta' = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11Δ′=(−3)2−4⋅1⋅5=9−20=−11

Vì delta âm nên phương trình x12−3x1+5=0x_1^2 - 3x_1 + 5 = 0x12​−3x1​+5=0 không có nghiệm thực, điều này cho thấy không có giá trị mmm nào thỏa mãn cùng lúc cả hai điều kiện.

Do đó, sẽ không tồn tại giá trị mmm để thỏa mãn cả hai yếu tố đề bài đã cho.