Câu a: Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật
Chứng minh:

Chứng minh ABCD là tứ giác có các góc vuông:

Do M là trung điểm của BD và C là điểm đối xứng của A qua M, ta có: M là trung điểm của AC.
Vì A đối xứng với C qua M, nên: AM=MC.
Do ABD là tam giác vuông tại A, suy ra AB⊥AD
Vì C đối xứng với A qua M, nên C cũng thẳng hàng với D.
Vì MM trung điểm BD, nên AC⊥BD
Kết luận:

ABCD có AB⊥AD và AC⊥BD
Tứ giác có 4 góc vuông nên ABCDABCD là hình chữ nhật.
 Kết luận: ABCDABCD là hình chữ nhật.

Câu b: Chứng minh ID=IE
Giả thiết:

E là điểm trên tia đối của DA sao cho DA=DE
I là trung điểm của CD.
Chứng minh:

Xét △ADE:

Do DA=DE nên △ADE là tam giác cân tại DD.
II là trung điểm của CD, tức là IC=ID.
Chứng minh ID=IE:

Vì △ADE cân tại D và I là trung điểm của CD, nên đường trung tuyến ID cũng là đường trung trực của đoạn CE.
Suy ra, ID=IE
 Kết luận: ID=IE.

Câu c: Chứng minh tứ giác BDCK là hình thang cân
Giả thiết:

AH là đường vuông góc hạ từ A xuống BD.
K là điểm đối xứng của A qua H.
Chứng minh:

Xác định tính chất hình thang của BDCK:

Do KK là điểm đối xứng của A qua H, ta có H là trung điểm của AK.
Vì AH⊥BD, nên K cũng đối xứng với A qua đường vuông góc với BD.
Suy ra, BD∥CK, nên BDCK là hình thang.
Chứng minh hình thang cân:

Vì K đối xứng với A qua H, ta có AK=AH
Do C là đối xứng của A qua M, nên AM=MC.
Vì M là trung điểm của BD, ta có BM=MD.
Do đó, BC=DK
Hai cạnh bên BC và DK bằng nhau, nên BDCK là hình thang cân.
Kết luận: BDCK là hình thang cân.

a, Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật:

Chứng minh:Vì M là trung điểm của BD và C đối xứng với A qua M nên MA = MC.
Do đó, tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mà tam giác ABD vuông tại A nên BD là đường chéo và BD = 2AM.
Suy ra, AC = BD (vì AC = 2AM, BD = 2AM).
Vậy ABCD là hình chữ nhật (tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).
b, Chứng minh ID = IE:

Chứng minh:Vì I là trung điểm của CD và DA = DE nên AI là đường trung tuyến của tam giác ACE.
Xét tam giác ACE có AI là đường trung tuyến và AD = DE (theo giả thiết).
Mặt khác, trong tam giác vuông CAD thì AI = ID = IC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Do đó, ID = IE (vì AI = ID và AI = IE).
c, Chứng minh tứ giác BDCK là hình thang cân:

Chứng minh:Vì AH ⊥ BD nên AH là đường cao của tam giác ABD.
Vì K đối xứng với A qua H nên H là trung điểm của AK.
Do đó, AH ⊥ BD và KH ⊥ BD.
Suy ra, BD // CK.
Vậy, tứ giác BDCK là hình thang.
Mặt khác, vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD.
Xét tam giác ABK và tam giác CDK:AB = CD (chứng minh trên)
AK = CK (vì K đối xứng với A qua H)
BK = DK (vì ABCD là hình chữ nhật và M là trung điểm của BD).
Do đó, tam giác ABK = tam giác CDK (c.c.c)
Suy ra, ∠ABK = ∠CDK.
Vậy, tứ giác BDCK là hình thang cân (hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau).
Vậy, ta đã chứng minh được các phần a, b, và c của bài toán.