Để giải phương trình x3−3x2+2x+23−6x=0x^3 - 3x^2 + 2\sqrt{x+2}^3 - 6x = 0x3−3x2+2x+2​3−6x=0, ta cần tìm giá trị của x.

Phương trình đã cho có dạng: x3−3x2−6x+2x+23=0x^3 - 3x^2 - 6x + 2\sqrt{x+2}^3 = 0x3−3x2−6x+2x+2​3=0

Điều kiện xác định:

Vì có căn bậc hai, ta cần có x+2≥0x + 2 \ge 0x+2≥0, tức là x≥−2x \ge -2x≥−2.
Đặt x=y−1x = y-1x=y−1:

Để đơn giản hóa, đặt x=y−1x = y-1x=y−1. Khi đó, phương trình trở thành:
(y−1)3−3(y−1)2−6(y−1)+2x+23=0(y-1)^3 - 3(y-1)^2 - 6(y-1) + 2\sqrt{x+2}^3 = 0(y−1)3−3(y−1)2−6(y−1)+2x+2​3=0
y3−3y2+3y−1−3(y2−2y+1)−6y+6+2x+23=0y^3 - 3y^2 + 3y - 1 - 3(y^2 - 2y + 1) - 6y + 6 + 2\sqrt{x+2}^3 = 0y3−3y2+3y−1−3(y2−2y+1)−6y+6+2x+2​3=0
y3−3y2+3y−1−3y2+6y−3−6y+6+2x+23=0y^3 - 3y^2 + 3y - 1 - 3y^2 + 6y - 3 - 6y + 6 + 2\sqrt{x+2}^3 = 0y3−3y2+3y−1−3y2+6y−3−6y+6+2x+2​3=0
y3−6y2+9y+2x+23−2=0y^3 - 6y^2 + 9y + 2\sqrt{x+2}^3 - 2 = 0y3−6y2+9y+2x+2​3−2=0
Tìm nghiệm:

Nhận thấy rằng, nếu ta đặt x=2x = 2x=2 ta có:
23−3(2)2−6(2)+22+23=8−12−12+243=8−12−12+2⋅8=8−12−12+16=02^3 - 3(2)^2 - 6(2) + 2\sqrt{2+2}^3 = 8 - 12 - 12 + 2\sqrt{4}^3 = 8 - 12 - 12 + 2 \cdot 8 = 8 - 12 - 12 + 16 = 023−3(2)2−6(2)+22+2​3=8−12−12+24​3=8−12−12+2⋅8=8−12−12+16=0
Vậy x=2x = 2x=2 là một nghiệm của phương trình.
Vậy ta có thể viết lại phương trình như sau:
(x−2)(x2−x−3)+2(x+23−8)=0(x-2)(x^2 - x - 3) + 2(\sqrt{x+2}^3-8) = 0(x−2)(x2−x−3)+2(x+2​3−8)=0
(x−2)(x2−x−3)+2[(x+2−2)((x+2)+2x+2+4)]=0(x-2)(x^2 - x - 3) + 2\left[ (\sqrt{x+2} - 2)((x+2) + 2\sqrt{x+2} + 4) \right] = 0(x−2)(x2−x−3)+2[(x+2​−2)((x+2)+2x+2​+4)]=0
Kiểm tra nghiệm:

Với x=2x = 2x=2, ta có: 23−3(22)−6(2)+22+23=8−12−12+16=02^3 - 3(2^2) - 6(2) + 2\sqrt{2+2}^3 = 8 - 12 - 12 + 16 = 023−3(22)−6(2)+22+2​3=8−12−12+16=0.
Vậy x=2x=2x=2 là một nghiệm.
Kết luận:

Nghiệm của phương trình là x=2x = 2x=2.
Ngoài ra, ta có thể giải phương trình bậc hai x2−x−3=0x^2 - x - 3 = 0x2−x−3=0 để tìm các nghiệm khác (nếu có).

x=1±12−4(1)(−3)2(1)=1±132x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}x=2(1)1±12−4(1)(−3)​​=21±13​​
x=1+132≈2.303x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \approx 2.303x=21+13​​≈2.303
x=1−132≈−1.803x = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \approx -1.803x=21−13​​≈−1.803

Tuy nhiên, ta cần kiểm tra xem các nghiệm này có thỏa mãn điều kiện x≥−2x \ge -2x≥−2 hay không.

x=1+132x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}x=21+13​​ thỏa mãn x≥−2x \ge -2x≥−2
x=1−132x = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}x=21−13​​ thỏa mãn x≥−2x \ge -2x≥−2
Vậy, nghiệm của phương trình là: x=2,x=1±132x = 2, x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}x=2,x=21±13​​