Để giải quyết bài toán, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần sau:

a) Chứng minh tứ giác ABOCABOCABOC là nội tiếp
Gọi ∠ABC=α\angle ABC = \alpha∠ABC=α và ∠ACB=β\angle ACB = \beta∠ACB=β.
Vì ABABAB và ACACAC là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm BBB và CCC, nên ∠OBA=∠OCB=90∘\angle OBA = \angle OCB = 90^\circ∠OBA=∠OCB=90∘.
Do đó, ∠BAO=90∘−α\angle BAO = 90^\circ - \alpha∠BAO=90∘−α và ∠CAO=90∘−β\angle CAO = 90^\circ - \beta∠CAO=90∘−β.
Trong tam giác AOBAOBAOB, ∠ABO=α\angle ABO = \alpha∠ABO=α, và trong tam giác AOCAOCAOC, ∠ACO=β\angle ACO = \beta∠ACO=β.
Ta có:∠BAC=180∘−(90∘−α)−(90∘−β)=α+β\angle BAC = 180^\circ - (90^\circ - \alpha) - (90^\circ - \beta) = \alpha + \beta∠BAC=180∘−(90∘−α)−(90∘−β)=α+β
Tổng các góc trong tứ giác ABOCABOCABOC là:

∠ABO+∠BAO+∠ACO+∠OCA=α+(90∘−α)+β+(90∘−β)=180∘\angle ABO + \angle BAO + \angle ACO + \angle OCA = \alpha + (90^\circ - \alpha) + \beta + (90^\circ - \beta) = 180^\circ∠ABO+∠BAO+∠ACO+∠OCA=α+(90∘−α)+β+(90∘−β)=180∘
Do đó, tứ giác ABOCABOCABOC là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tứ giác BOICBOICBOIC là nội tiếp
Gọi ∠BIC=θ\angle BIC = \theta∠BIC=θ.
Vì III là trung điểm của DEDEDE, nên AIAIAI là phân giác của góc ∠DAC\angle DAC∠DAC.
Từ đó, ∠IAC=12∠DAC=12(α+β)\angle IAC = \frac{1}{2} \angle DAC = \frac{1}{2} (\alpha + \beta)∠IAC=21​∠DAC=21​(α+β).
Trong tam giác AOCAOCAOC, ∠ACO=β\angle ACO = \beta∠ACO=β, nên ∠ACI=β−12(α+β)\angle ACI = \beta - \frac{1}{2} (\alpha + \beta)∠ACI=β−21​(α+β).
Ta có:∠ICB=90∘−∠ACB=90∘−β\angle ICB = 90^\circ - \angle ACB = 90^\circ - \beta∠ICB=90∘−∠ACB=90∘−β
∠CBI=90∘−∠ABC=90∘−α\angle CBI = 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - \alpha∠CBI=90∘−∠ABC=90∘−α
Tổng các góc trong tứ giác BOICBOICBOIC là:

∠OBI+∠IBC+∠ICB+∠BCO=(90∘−α)+θ+(90∘−β)+β=180∘\angle OBI + \angle IBC + \angle ICB + \angle BCO = (90^\circ - \alpha) + \theta + (90^\circ - \beta) + \beta = 180^\circ∠OBI+∠IBC+∠ICB+∠BCO=(90∘−α)+θ+(90∘−β)+β=180∘
Do đó, tứ giác BOICBOICBOIC là tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh KDKDKD và KEKEKE là các tiếp tuyến của đường tròn
Gọi KKK là giao điểm của OIOIOI và BCBCBC.
Vì III là trung điểm của DEDEDE, nên AIAIAI là phân giác của góc ∠DAC\angle DAC∠DAC.
Ta có:∠KDC=∠BIC=θ\angle KDC = \angle BIC = \theta∠KDC=∠BIC=θ
∠KEA=∠IAC=12(α+β)\angle KEA = \angle IAC = \frac{1}{2} (\alpha + \beta)∠KEA=∠IAC=21​(α+β)
Vì KKK nằm trên OIOIOI và OIOIOI là phân giác của góc ∠BOC\angle BOC∠BOC, nên ∠OKB=∠OKC\angle OKB = \angle OKC∠OKB=∠OKC.

KDKDKD và KEKEKE là các đoạn thẳng từ KKK đến DDD và EEE, và chúng cắt đường tròn tại DDD và EEE.
Do đó, KDKDKD và KEKEKE là các tiếp tuyến của đường tròn tại điểm DDD và EEE.
Vậy, ta đã chứng minh được cả ba phần của bài toán.