a) Giải phương trình (*) với m = 2

Lời giải:

Với m = 2, phương trình (*) trở thành:

x² + 2x + 1 = 0

Ta có:

Δ = b² - 4ac = 2² - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0

Vậy phương trình có 1 nghiệm kép, được tính bằng công thức:

x = -b/2a = -2/2(-1) = 1

Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình.

b) Xác định m để phương trình (*) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: (x1/x2)² + (x2/x1)² > 7

Lời giải:

Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

(x1/x2)² + (x2/x1)² > 7

Đầu tiên, ta viết lại biểu thức dưới dạng một tổng bình phương:

((x1/x2) + (x2/x1))² > 7 + 2 (vì bình phương của tổng là tổng bình phương)

Tỉa bớt và sắp xếp lại chúng ta có:

(x1/x2 + x2/x1)² - 9 > 0

Ta có:

(x1 + x2)²/(x1*x2) - 9 > 0

Để biểu thức trên lớn hơn 0, ta cần:

x1 + x2 ≠ 0 (trường hợp này ta có thể chia hết cả hai vế cho x1+x2)
và:
(x1x2 - 9) > 0
hay là:
(x1x2) > 9 và x1+x2 không phải 0.

Ta có biểu thức dưới dạng một biểu thức đa thức như sau:

(x1*x2) - 9

Vì biểu thức này phải lớn hơn 0 nên ta có thể có 1 biểu thức dưới dạng này:

(x1 - 3)(x2 - 3) > 0

Từ biểu thức trên ta có được hai trường hợp

x1>3 và x2 <3
x1<3 và x2 > 3
Ta có phương trình x² + mx + 1 = 0. Để có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn ta cần tìm tham số m để có được 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn các trường hợp trên

Ví dụ: Với m = 8 ta có:

x² + 8x + 1 = 0

Theo công thức tìm x: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Ta có:
x1 = (8 + √64 - 4) / (21) = (8 + √60) / 2 và
x2 = (8 - √64 - 4)/ (21) = (8 - √60) / 2

Ta có x1 > 3 và x2 < 3 và thỏa mãn (x1/x2)² + (x2/x1)² > 7

a) Giải phương trình (*) với m = 2

Lời giải:

Với m = 2, phương trình (*) trở thành:

x² + 2x + 1 = 0

Ta có:

Δ = b² - 4ac = 2² - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0

Vậy phương trình có 1 nghiệm kép, được tính bằng công thức:

x = -b/2a = -2/2(-1) = 1

Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình.

b) Xác định m để phương trình (*) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: (x1/x2)² + (x2/x1)² > 7

Lời giải:

Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

(x1/x2)² + (x2/x1)² > 7

Đầu tiên, ta viết lại biểu thức dưới dạng một tổng bình phương:

((x1/x2) + (x2/x1))² > 7 + 2 (vì bình phương của tổng là tổng bình phương)

Tỉa bớt và sắp xếp lại chúng ta có:

(x1/x2 + x2/x1)² - 9 > 0

Ta có:

(x1 + x2)²/(x1*x2) - 9 > 0

Để biểu thức trên lớn hơn 0, ta cần:

x1 + x2 ≠ 0 (trường hợp này ta có thể chia hết cả hai vế cho x1+x2)
và:
(x1x2 - 9) > 0
hay là:
(x1x2) > 9 và x1+x2 không phải 0.

Ta có biểu thức dưới dạng một biểu thức đa thức như sau:

(x1*x2) - 9

Vì biểu thức này phải lớn hơn 0 nên ta có thể có 1 biểu thức dưới dạng này:

(x1 - 3)(x2 - 3) > 0

Từ biểu thức trên ta có được hai trường hợp

x1>3 và x2 <3
x1<3 và x2 > 3
Ta có phương trình x² + mx + 1 = 0. Để có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn ta cần tìm tham số m để có được 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn các trường hợp trên

Ví dụ: Với m = 8 ta có:

x² + 8x + 1 = 0

Theo công thức tìm x: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Ta có:
x1 = (8 + √64 - 4) / (21) = (8 + √60) / 2 và
x2 = (8 - √64 - 4)/ (21) = (8 - √60) / 2

Ta có x1 > 3 và x2 < 3 và thỏa mãn (x1/x2)² + (x2/x1)² > 7