Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh các tính chất trong tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, ta sẽ sử dụng các định lý và tính chất liên quan đến đường cao, trung tuyến và tỉ số các đoạn thẳng trong tam giác.

### Câu a: Chứng minh rằng \(AE \times AC = AF \times AB\)

Tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, nghĩa là H là trực tâm của tam giác ABC. Sử dụng định lý sin trong tam giác:

- Trong tam giác BAE:
\[
\frac{AE}{\sin(\angle ABE)} = \frac{BE}{\sin(\angle BAE)} = 2R
\]

- Trong tam giác CAF:
\[
\frac{AF}{\sin(\angle CAF)} = \frac{CF}{\sin(\angle ACF)} = 2R
\]

Từ đó ta có thể suy ra:
\[
AE \times \sin(\angle CAF) = AF \times \sin(\angle ABE)
\]

Do \(\sin(\angle CAF) = \sin(\angle ABE)\), ta suy ra:
\[
AE \times AC = AF \times AB
\]

### Câu b: Chứng minh EB là phân giác của góc FED

Ta xét tam giác DEF:
- Góc \( \angle DEF \) và góc \( \angle DFB \) đối đỉnh, nghĩa là \(\angle DEF = \angle DFB\).

Do đó, EB chia góc FED thành hai phần bằng nhau, tức EB là phân giác của góc FED.

### Câu c: Chứng minh \( \frac{MH}{HD} = \frac{FM}{FD} \)

- Xét tam giác ADH và tam giác MHF:
- \( \angle ADM = \angle HFM \) (vì góc đối đỉnh).
- \( \angle ADH = \angle FHM \) (vì đường cao AD và CF).

Từ hai tam giác đồng dạng này, ta có:
\[
\frac{MH}{HD} = \frac{FM}{FD}
\]

...Xem thêm

Answer 2