Giải:

Vẽ hình: Vẽ tứ diện ABCD, các điểm I, J là trung điểm của AB, CD, và điểm M bất kỳ.
Phân tích:Ta sẽ sử dụng định lý cosin để biểu diễn MA² và MB².
Do I là trung điểm của AB nên MI là đường trung tuyến của tam giác MAB.
Áp dụng định lý đường trung tuyến trong tam giác MAB, ta có: MA² + MB² = 2MI² + 2(AI)²
Mà AI = AB/2 = a.
Kết luận:Vậy, MA² + MB² = 2MI² + 2a².
Phần b: Chứng minh MA² + MB² + MC² + MD² = 4MG² + 2(a² + b² + 2c²)
Giải:

Sử dụng kết quả phần a:Tương tự, ta có: MC² + MD² = 2MJ² + 2b²
Cộng vế với vế:MA² + MB² + MC² + MD² = 2(MI² + MJ²) + 2(a² + b²)
Xét tam giác MIJ:IJ là đường trung bình của hình thang ABCD (vì I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD).
G là trọng tâm tứ diện ABCD nên G cũng là trọng tâm tam giác MIJ.
Áp dụng định lý về trọng tâm trong tam giác MIJ, ta có: MI² + MJ² = 3MG² + (IJ)²/3
Thay vào biểu thức trên:MA² + MB² + MC² + MD² = 2(3MG² + (IJ)²/3) + 2(a² + b²)
MA² + MB² + MC² + MD² = 4MG² + 2(a² + b² + 2c²) (vì IJ = 2c)
Suy ra vị trí của điểm M để (MA² + MB² + MC² + MD²) đạt giá trị nhỏ nhất
Nhận xét:Trong biểu thức MA² + MB² + MC² + MD² = 4MG² + 2(a² + b² + 2c²), các số hạng 2(a² + b² + 2c²) là hằng số.
Do đó, để biểu thức trên đạt giá trị nhỏ nhất thì 4MG² phải đạt giá trị nhỏ nhất.
Kết luận:Để MA² + MB² + MC² + MD² đạt giá trị nhỏ nhất thì MG phải đạt giá trị nhỏ nhất.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi M trùng với G.
Vậy, điểm M để tổng các bình phương khoảng cách từ M đến các đỉnh của tứ diện ABCD đạt giá trị nhỏ nhất là trọng tâm G của tứ diện.

Vẽ hình: Vẽ tứ diện ABCD, các điểm I, J là trung điểm của AB, CD, và điểm M bất kỳ.
Phân tích:Ta sẽ sử dụng định lý cosin để biểu diễn MA² và MB².
Do I là trung điểm của AB nên MI là đường trung tuyến của tam giác MAB.
Áp dụng định lý đường trung tuyến trong tam giác MAB, ta có: MA² + MB² = 2MI² + 2(AI)²
Mà AI = AB/2 = a.
Kết luận:Vậy, MA² + MB² = 2MI² + 2a².
Phần b: Chứng minh MA² + MB² + MC² + MD² = 4MG² + 2(a² + b² + 2c²)
Giải:

Sử dụng kết quả phần a:Tương tự, ta có: MC² + MD² = 2MJ² + 2b²
Cộng vế với vế:MA² + MB² + MC² + MD² = 2(MI² + MJ²) + 2(a² + b²)
Xét tam giác MIJ:IJ là đường trung bình của hình thang ABCD (vì I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD).
G là trọng tâm tứ diện ABCD nên G cũng là trọng tâm tam giác MIJ.
Áp dụng định lý về trọng tâm trong tam giác MIJ, ta có: MI² + MJ² = 3MG² + (IJ)²/3
Thay vào biểu thức trên:MA² + MB² + MC² + MD² = 2(3MG² + (IJ)²/3) + 2(a² + b²)
MA² + MB² + MC² + MD² = 4MG² + 2(a² + b² + 2c²) (vì IJ = 2c)
Suy ra vị trí của điểm M để (MA² + MB² + MC² + MD²) đạt giá trị nhỏ nhất
Nhận xét:Trong biểu thức MA² + MB² + MC² + MD² = 4MG² + 2(a² + b² + 2c²), các số hạng 2(a² + b² + 2c²) là hằng số.
Do đó, để biểu thức trên đạt giá trị nhỏ nhất thì 4MG² phải đạt giá trị nhỏ nhất.
Kết luận:Để MA² + MB² + MC² + MD² đạt giá trị nhỏ nhất thì MG phải đạt giá trị nhỏ nhất.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi M trùng với G.
Vậy, điểm M để tổng các bình phương khoảng cách từ M đến các đỉnh của tứ diện ABCD đạt giá trị nhỏ nhất là trọng tâm G của tứ diện.