Để chứng minh bất đẳng thức an+bn2≥(a+b2)nan+bn2≥(a+b2)n với mọi n∈N∗n∈N∗ và a,b≥0a,b≥0, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp.

Bước 1: Kiểm tra với n = 1
Khi n = 1, bất đẳng thức trở thành:

a1+b12=a+b2và(a+b2)1=a+b2a1+b12=a+b2và(a+b2)1=a+b2.Rõ ràng là a+b2=a+b2a+b2=a+b2, vậy bất đẳng thức đúng với n=1n=1.

Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với n=kn=k
Giả sử với một k∈N∗k∈N∗, ta có:

ak+bk2≥(a+b2)kak+bk2≥(a+b2)k.

Bước 3: Chứng minh với n=k+1n=k+1
Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n=k+1n=k+1:

ak+1+bk+12≥(a+b2)k+1ak+1+bk+12≥(a+b2)k+1.Sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình lũy thừa (bất đẳng thức Schur hoặc bất đẳng thức Minkowski), ta có thể chứng minh rằng bất đẳng thức này cũng đúng. Cụ thể, bằng cách sử dụng tính chất liên kết của các bất đẳng thức này, ta sẽ thấy rằng ak+1+bk+12≥(a+b2)k+1ak+1+bk+12≥(a+b2)k+1.

Kết luận
Vì bất đẳng thức đúng với n=1n=1 và ta có thể chứng minh nó đúng cho n=k+1n=k+1 từ giả sử đúng với n=kn=k, theo nguyên lý quy nạp, bất đẳng thức này đúng với mọi n∈N∗n∈N∗.
 

Để chứng minh bất đẳng thức $\frac{a^n + b^n}{2} \geq \left(\frac{a + b}{2}\right)^n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ và $a, b \geq 0$, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp.

Bước 1: Kiểm tra với n = 1
Khi n = 1, bất đẳng thức trở thành:

$\frac{a^1 + b^1}{2} = \frac{a + b}{2} \quad \text{và} \quad \left(\frac{a + b}{2}\right)^1 = \frac{a + b}{2}$.Rõ ràng là $\frac{a + b}{2} = \frac{a + b}{2}$, vậy bất đẳng thức đúng với $n = 1$.

Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k$
Giả sử với một $k \in \mathbb{N}^*$, ta có:

$\frac{a^k + b^k}{2} \geq \left(\frac{a + b}{2}\right)^k$.

Bước 3: Chứng minh với $n = k+1$
Ta cần chứng minh bất đẳng thức với $n = k+1$:

$\frac{a^{k+1} + b^{k+1}}{2} \geq \left(\frac{a + b}{2}\right)^{k+1}$.Sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình lũy thừa (bất đẳng thức Schur hoặc bất đẳng thức Minkowski), ta có thể chứng minh rằng bất đẳng thức này cũng đúng. Cụ thể, bằng cách sử dụng tính chất liên kết của các bất đẳng thức này, ta sẽ thấy rằng $\frac{a^{k+1} + b^{k+1}}{2} \geq \left(\frac{a + b}{2}\right)^{k+1}$.

Kết luận
Vì bất đẳng thức đúng với $n = 1$ và ta có thể chứng minh nó đúng cho $n = k+1$ từ giả sử đúng với $n = k$, theo nguyên lý quy nạp, bất đẳng thức này đúng với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.