cho hình thang ABCD(AB//CD),BC = 3cm .tia phân giác góc BDC cắt BC tại N.kẻ đường thẳng đi qua N song song với DC,đường thẳng đó cắt BD,AD lần lượt tại P và M.giả sử AC cắt NM tại Q.chứng minh MN.BC=CD.BN+AB.CN
Quảng cáo
1 câu trả lời 134
Chứng minh ∆BNC đồng dạng ∆DBC:
Ta có: ∠BNC = ∠BDC (cùng bằng ∠PNC do NP // DC)
∠BCN = ∠BCD (chung)
=> ∆BNC ~ ∆DBC (g.g)
Từ ∆BNC ~ ∆DBC suy ra tỉ lệ:
BC/DC = BN/BD = NC/BC (1)
=> BC² = DC.NC (2)
=> BC.BC = DC.NC (Thay BC = 3cm)
=> 3.BC = DC.NC (3)
Chứng minh ∆MNP ~ ∆DBC và suy ra tỉ lệ:
MN//DC => MNP đồng dạng DBC => MN/DC=NP/BC=MP/BD
Từ ∆MNP ~ ∆DBC suy ra:
MN/DC = NP/BC (4)
Chứng minh NP = BN:
Ta có: ∠NPD = ∠PDC (so le trong, NP // DC)
∠NDP = ∠PDC (DN là phân giác góc BDC)
=> ∠NPD = ∠NDP
=> ∆NPD cân tại N
=> NP = ND
Mà ∠BDC = ∠NPD(cmt) => ∠BDC=∠NDB mà DN là phân giác => NDB=BDC/2
NP//DC => NPD=BDC => NPD=NDB=BDC/2
Xét tam giác NBD có NPD=NDB => tam giác NBD cân => NP=BN
Thay NP = BN vào (4) và suy ra:
MN/DC = BN/BC (5)
=> MN.BC = DC.BN (6)
Chứng minh MN // AB:
Ta có: MN // DC (giả thiết)
AB // DC (giả thiết)
=> MN // AB
Áp dụng định lý Ta-lét cho MN // AB trong tam giác ABD:
MN // AB => AM/AD = NP/BD (Do NP = BN)
Áp dụng định lý Ta-lét cho MN // AB trong tam giác ABD:
Từ MN//AB => tam giác AMN đồng dạng tam giác ABD(g.g) => AM/AD=MN/AB (7)
Mà AM/AD=NP/BD(cmt) => AM/AD=BN/BD (8)
Từ (7)(8) => MN/AB=BN/BD (9)
Từ (1)(9) => MN/AB=BC/DC (10) => MN.DC=AB.BC => MN.BC=AB.CN(11)
10. Cộng (6) và (11):
MN.BC + MN.BC = DC.BN + AB.CN
=> MN.BC = DC.BN + AB.CN (đpcm)
Quảng cáo