Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện lần lượt các bước chứng minh theo yêu cầu.

### Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC. Gọi F là trung điểm của BC.

### Chứng minh tứ giác ADFE là hình chữ nhật

1. **Gọi các điểm và trung điểm:**
- Gọi F là trung điểm của BC.
- Gọi E là trung điểm của AC.

2. **Chứng minh các góc vuông:**
- Vì ABC vuông tại A, nên \(\angle BAC = 90^\circ\).
- Đường cao AD từ A vuông góc với BC tại D.

3. **Chứng minh các cạnh song song và bằng nhau:**
- AF là trung tuyến của tam giác vuông ABC, nên AF cũng vuông góc với BC.
- Gọi D là chân đường cao từ A hạ xuống BC, do đó AD vuông góc với BC.
- ADFE có:
- AD // EF
- AE // DF
- Các góc tại D và E đều là góc vuông.

4. **Kết luận:**
- ADFE là hình chữ nhật vì có hai cặp cạnh đối song song và các góc vuông.

### Chứng minh tứ giác DEF B là hình bình hành

1. **Xác định các cạnh song song và bằng nhau:**
- E là trung điểm của AC và F là trung điểm của BC nên EF là đường trung bình của tam giác ABC.
- DF nối các trung điểm của AD và BC trong hình chữ nhật ADFE nên DF song song với AB.
- DE song song với BC vì E và F là các trung điểm của các đoạn thẳng AC và BC.

2. **Kết luận:**
- DEF B là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song.

### Chứng minh BM I thẳng hàng

1. **Xác định các điểm đối xứng và trung điểm:**
- Gọi I là điểm đối xứng của F qua E.
- M là giao điểm của AF và DE.

2. **Chứng minh BM I thẳng hàng:**
- Vì M là giao điểm của AF và DE, I là điểm đối xứng của F qua E.
- Ta có E là trung điểm của DF và DF song song với BM.
- Do đó, E là trung điểm của DI và BM song song với DI.

3. **Kết luận:**
- BM I thẳng hàng vì BM song song với DI và E là trung điểm của DI.

Hy vọng các bước giải này giúp ích cho bạn! Nếu bạn cần thêm sự trợ giúp nào khác, hãy cho mình biết nhé! 😊📚✨

Bạn muốn thảo luận thêm điều gì nữa không?