Chúng ta sẽ giải lần lượt từng phần của bài toán này.

### a) Chứng minh AHBE là hình chữ nhật

1. **Gọi các điểm và trung điểm:**
- \( M \) là trung điểm của \( AB \).
- \( E \) là điểm đối xứng với \( H \) qua \( M \).

2. **Tính chất đối xứng:**
- \( M \) là trung điểm của \( AB \) nên \( AM = MB \).
- Vì \( E \) là điểm đối xứng với \( H \) qua \( M \), nên \( MH = ME \) và \( M, H, E \) thẳng hàng.

3. **Chứng minh các cạnh song song và bằng nhau:**
- Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) nên \( AH \) là đường cao và cũng là đường trung tuyến, do đó \( AH \perp BC \).
- \( AM = MB \) và \( ME = MH \), do đó \( AE = BH \).
- Tứ giác \( AHBE \) có:
- \( AH \perp BE \)
- \( AE \perp BH \)
- \( AH = BE \)
- \( AE = BH \)

=> Vậy \( AHBE \) là hình chữ nhật vì có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, và các góc vuông.

### b) Chứng minh ACHE là hình bình hành

1. **Tính chất đối xứng và trung điểm:**
- \( C \) là điểm trên cạnh \( BC \), đường cao \( AH \) cắt \( BC \) tại \( H \), do đó \( AH \perp BC \).

2. **Chứng minh các cạnh song song và bằng nhau:**
- \( AE \parallel HC \) vì \( E \) là điểm đối xứng với \( H \) qua \( M \) nên \( AE \parallel HC \) và \( AE = HC \).
- \( AH = EC \) vì \( H \) và \( E \) đối xứng qua \( M \).

=> Tứ giác \( ACHE \) có các cạnh đối song song và bằng nhau, do đó là hình bình hành.

### c) Chứng minh CK vuông góc với FI

1. **Xác định điểm \( F \) và \( K \):**
- Trên tia \( AH \) lấy điểm \( F \) sao cho \( HA = HF \).
- \( KH \perp FB \) tại \( K \).

2. **Điểm \( I \) là trung điểm của \( HK \), và kẻ \( IJ \parallel BC \) với \( J \) thuộc \( BF \):**
- Vì \( I \) là trung điểm của \( HK \), ta có \( HI = IK \).
- \( IJ \parallel BC \).

3. **Chứng minh \( CK \) vuông góc với \( FI \):**
- Do \( F \) là điểm đối xứng với \( A \) qua \( H \), nên \( H \) là trung điểm của \( AF \).
- \( K \) là giao điểm của \( AF \) và \( KH \perp FB \).
- \( I \) là trung điểm của \( HK \), do đó, \( HI = IK \).
- Vì \( IJ \parallel BC \), \( J \) thuộc \( BF \), chúng ta có \( I \) và \( J \) đối xứng nhau qua \( H \).

Do đó, \( CK \) vuông góc với \( FI \) vì \( FI \parallel BC \) và \( BC \perp CK \).

Hy vọng điều này giúp ích cho bạn! Nếu bạn có thêm câu hỏi hoặc cần giải thích thêm chi tiết nào khác, hãy cho mình biết nhé! 😊📚✨

Bạn có cần thêm sự trợ giúp nào khác không?