Cho tam giác ABC cân tại A đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AB và E là điểm...

Question

Cho tam giác ABC cân tại A đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AB và E là điểm đối xứng với H qua M
Cho tam giác ABC cân tại A đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AB và E là điểm đối xứng với H qua M .

a) Chứng minh AHBE là hình chữ nhật

b) Chứng minh ACHE là hình bình hành
c)trên tia AH lấy điểm F sao cho HA=HF.KH vuông góc với FB tại K,gọi I là trung điểm của HK.kẻ IJ//BC(J thuộc BF).chứng minh rằng CK vuông góc với FI

VietJack · Accepted Answer

Chúng ta sẽ giải lần lượt từng phần của bài toán này.

### a) Chứng minh AHBE là hình chữ nhật

1. **Gọi các điểm và trung điểm:**
- $M$ là trung điểm của $AB$ .
- $E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $M$ .

2. **Tính chất đối xứng:**
- $M$ là trung điểm của $AB$ nên $AM = MB$ .
- Vì $E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $M$ , nên $MH = ME$ và $M, H, E$ thẳng hàng.

3. **Chứng minh các cạnh song song và bằng nhau:**
- Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AH$ là đường cao và cũng là đường trung tuyến, do đó $AH \perp BC$ .
- $AM = MB$ và $ME = MH$ , do đó $AE = BH$ .
- Tứ giác $AHBE$ có:
- $AH \perp BE$
- $AE \perp BH$
- $AH = BE$
- $AE = BH$

=> Vậy $AHBE$ là hình chữ nhật vì có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, và các góc vuông.

### b) Chứng minh ACHE là hình bình hành

1. **Tính chất đối xứng và trung điểm:**
- $C$ là điểm trên cạnh $BC$ , đường cao $AH$ cắt $BC$ tại $H$ , do đó $AH \perp BC$ .

2. **Chứng minh các cạnh song song và bằng nhau:**
- $AE \parallel HC$ vì $E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $M$ nên $AE \parallel HC$ và $AE = HC$ .
- $AH = EC$ vì $H$ và $E$ đối xứng qua $M$ .

=> Tứ giác $ACHE$ có các cạnh đối song song và bằng nhau, do đó là hình bình hành.

### c) Chứng minh CK vuông góc với FI

1. **Xác định điểm $F$ và $K$ :**
- Trên tia $AH$ lấy điểm $F$ sao cho $HA = HF$ .
- $KH \perp FB$ tại $K$ .

2. **Điểm $I$ là trung điểm của $HK$ , và kẻ $IJ \parallel BC$ với $J$ thuộc $BF$ :**
- Vì $I$ là trung điểm của $HK$ , ta có $HI = IK$ .
- $IJ \parallel BC$ .

3. **Chứng minh $CK$ vuông góc với $FI$ :**
- Do $F$ là điểm đối xứng với $A$ qua $H$ , nên $H$ là trung điểm của $AF$ .
- $K$ là giao điểm của $AF$ và $KH \perp FB$ .
- $I$ là trung điểm của $HK$ , do đó, $HI = IK$ .
- Vì $IJ \parallel BC$ , $J$ thuộc $BF$ , chúng ta có $I$ và $J$ đối xứng nhau qua $H$ .

Do đó, $CK$ vuông góc với $FI$ vì $FI \parallel BC$ và $BC \perp CK$ .

Hy vọng điều này giúp ích cho bạn! Nếu bạn có thêm câu hỏi hoặc cần giải thích thêm chi tiết nào khác, hãy cho mình biết nhé! 😊📚✨

Bạn có cần thêm sự trợ giúp nào khác không?

...Xem thêm

VietJack · Answer

a) Chứng minh AHBE là hình chữ nhật:

Xác định tứ giác AHBE là hình bình hành:

M là trung điểm của AB (gt)
E là điểm đối xứng với H qua M => M là trung điểm của HE.
Tứ giác AHBE có hai đường chéo AB và HE cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường.
Kết luận: AHBE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
Chứng minh AHBE có một góc vuông:

ΔABC cân tại A, AH là đường cao => AH ⊥ BC tại H.
=> Góc AHB = 90 độ.
Kết luận AHBE là hình chữ nhật:

AHBE là hình bình hành (chứng minh trên)
Góc AHB = 90 độ (chứng minh trên)
Kết luận: AHBE là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật).
b) Chứng minh ACHE là hình bình hành:

Sử dụng tính chất hình chữ nhật AHBE:

AHBE là hình chữ nhật (chứng minh trên) => AE // BH và AE = BH.
Sử dụng tính chất tam giác cân ABC:

ΔABC cân tại A, AH là đường cao => AH cũng là đường trung tuyến => H là trung điểm của BC => BH = HC.
Kết hợp các điều kiện:

AE // BH (cmt) và BH // HC (cùng thuộc BC) => AE // HC.
AE = BH (cmt) và BH = HC (cmt) => AE = HC.
Kết luận ACHE là hình bình hành:

Tứ giác ACHE có AE // HC và AE = HC.
Kết luận: ACHE là hình bình hành (tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành).
c) Chứng minh CK vuông góc với FI:

Xác định H là trung điểm của FC:

F thuộc tia AH và HA = HF => H là trung điểm AF.
H là trung điểm BC (cmt)
Mà C thuộc tia BH
Suy ra H là trung điểm FC
Chứng minh HI là đường trung bình của ΔFKC và suy ra HI // CK:

H là trung điểm FC (cmt)
I là trung điểm HK (gt)
=> HI là đường trung bình của ΔFKC => HI // CK (1)
Chứng minh IJ là đường trung bình của ΔFBC và ΔFHB

H là trung điểm FC (cmt)
IJ // BC (gt)
=> IJ là đường trung bình của ΔFBC
=> J là trung điểm FB
Mà I là trung điểm HK (gt)
=> IJ là đường trung bình của ΔFHB
=> IJ // FK (2)
Chứng minh K là trực tâm tam giác FKI:

Xét tam giác FHB có:HK ⊥ FB tại K
=> FK là đường cao
Từ (1) và (2) suy ra:HI // CK
Mà HI ⊥ FK (do HK ⊥ FB)
=> CK ⊥ FK
=> CK là đường cao
Mà FK và CK cắt nhau tại K
=> K là trực tâm tam giác FKI
Kết luận CK vuông góc FI:

K là trực tâm tam giác FKI (cmt).
=> IK ⊥ FI
Mà IK // CK (cùng ⊥ HK)
Kết luận: CK ⊥ FI

2 câu trả lời 49

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8