a) Chứng minh AHBE là hình chữ nhật:

M là trung điểm của AB và EH:

Theo đề bài, M là trung điểm của AB.
E là điểm đối xứng với H qua M, nghĩa là M cũng là trung điểm của EH.
Tứ giác AHBE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường:

Hai đường chéo AB và EH cắt nhau tại M, là trung điểm của cả hai đường.
Do đó, AHBE là hình bình hành.
AH là đường cao:

Tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao nên góc AHB = 90 độ.
Hình bình hành có một góc vuông:

Hình bình hành AHBE có góc AHB = 90 độ nên AHBE là hình chữ nhật.
Kết luận: AHBE là hình chữ nhật.

b) Chứng minh ACHE là hình bình hành:

AHBE là hình chữ nhật (chứng minh ở câu a):

Suy ra AH = BE và AH // BE.
Tam giác ABC cân tại A:

AH là đường cao cũng là đường trung tuyến nên H là trung điểm của BC.
Suy ra BH = HC.
BE = HC:

Từ AH = BE và BH = HC, mà AH = 2AH (vì tam giác ABC cân tại A, AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến) và BE = 2BH, suy ra BE = HC.
Kết hợp với AH // BE (từ câu a) và BH = HC (H là trung điểm BC) suy ra BE = HC.
AH // HC:

AH // BE (từ câu a) và B, H, C thẳng hàng nên AH // HC.
Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau:

ACHE có AH // HC và AH = BE = HC.
Do đó, ACHE là hình bình hành.
Kết luận: ACHE là hình bình hành.

c) Chứng minh CK vuông góc với FI:

AH = HF và AH vuông góc BC:

Theo đề bài, AH = HF.
AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc BC.
Tam giác FBC cân tại F:

FB = FC (do AH = HF và AH là đường trung trực của BC).
Do đó, tam giác FBC cân tại F.
FK là đường cao trong tam giác cân:

FK vuông góc với FB (theo đề bài) và FB = FC nên FK cũng là đường trung tuyến của tam giác FBC.
Suy ra K là trung điểm của BC.
H là trung điểm BC, K là trung điểm BF:

H là trung điểm BC (đã chứng minh ở câu b).
K là trung điểm BC (đã chứng minh ở trên).
I là trung điểm HK (theo đề bài)
IK là đường trung bình của tam giác BHF:

I là trung điểm HK, K là trung điểm BF (theo đề bài)
Suy ra IK là đường trung bình của tam giác BHF.
Do đó, IK // HF.
IJ // BC:

Theo đề bài, IJ // BC.
IJ là đường trung bình tam giác FBC

Từ (2) và (6) suy ra IJ là đường trung bình tam giác FBC
Suy ra J là trung điểm FC
J là trực tâm tam giác FIK:

F, K, J thẳng hàng, do đó FK vuông góc với IJ (từ 6)
IJ//BC , KH vuông góc BC, suy ra IJ vuông góc với KH.
Suy ra J là trực tâm tam giác FIK.
CK vuông góc với FI:

H và K cùng là trung điểm của BC (theo (4)) nên H trùng K
AH = HF và AH vuông góc với BC. Suy ra H là trung điểm BC
Tam giác FBC có H là trung điểm BC và FK là đường cao nên FK cũng là đường trung tuyến.
Suy ra K là trung điểm FB.
Mà H trùng K nên H cũng là trung điểm FB
Mà I là trung điểm HK nên I cũng là trung điểm HB
Do đó, IJ là đường trung bình của tam giác FBC
Mà CK là đường cao của tam giác FBC (do FBC cân tại F), suy ra CK vuông góc FI (do J là trực tâm tam giác FIK).
Kết luận: CK vuông góc với FI