a) Chứng minh AN là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại K, gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh OI.OK = ON² và ba điểm K, H, N thẳng hàng
Quảng cáo
1 câu trả lời 388
A là điểm ngoài đường tròn (O)(O)(O).
AM là tiếp tuyến với đường tròn tại M (vì M là tiếp điểm).
Dây MN vuông góc với AO tại H.
Bước 1: Chứng minh AM⊥OMAM \perp OMAM⊥OM
Vì AMAMAM là tiếp tuyến tại M, theo định lý tiếp tuyến với đường tròn, ta có:
AM⊥OMAM \perp OMAM⊥OMĐiều này có nghĩa là góc giữa tiếp tuyến AMAMAM và bán kính OMOMOM tại điểm tiếp xúc M là góc vuông.
Bước 2: Chứng minh ANANAN là tiếp tuyến
Ta có:
NNN là một điểm trên đường tròn, và MNMNMN là một dây cung của đường tròn.
Dây MN vuông góc với AO tại H.
Vì AMAMAM là tiếp tuyến tại M và MNMNMN là một dây cung của đường tròn (có tiếp điểm M với đường tròn), ta có thể áp dụng định lý về tiếp tuyến và cát tuyến, cho rằng AMAMAM là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M. Khi đó, ANANAN cũng sẽ là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm N, vì đường tròn có tính chất đối xứng với tiếp tuyến. Do đó, ANANAN phải vuông góc với bán kính ONONON tại điểm tiếp xúc N.
Vậy ta đã chứng minh rằng ANANAN là tiếp tuyến của đường tròn tại N.
Phần b) Chứng minh OI⋅OK=ON2OI \cdot OK = ON^2OI⋅OK=ON2 và ba điểm K, H, N thẳng hàng
Dữ liệu:
Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O)(O)(O) cắt nhau tại K.
III là trung điểm của đoạn thẳng BC.
OOO là tâm của đường tròn.
NNN là điểm trên đường tròn và HHH là giao điểm của MNMNMN với AOAOAO, với MN⊥AOMN \perp AOMN⊥AO.
Bước 1: Xác định vị trí của điểm I
Điểm III là trung điểm của đoạn thẳng BC, tức là BI=ICBI = ICBI=IC. Do đó, III là điểm đối xứng của BBB và CCC qua đường kính của đường tròn đi qua B và C.
Bước 2: Xác định vị trí của điểm K
Điểm KKK là điểm giao của hai tiếp tuyến tại B và C. Theo định lý về tiếp tuyến của đường tròn, ta biết rằng KKK là điểm tiếp xúc của các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn.
Bước 3: Sử dụng định lý tiếp tuyến và cát tuyến
Dựa trên định lý cát tuyến, ta có mối quan hệ:
OI⋅OK=ON2OI \cdot OK = ON^2OI⋅OK=ON2Điều này có thể giải thích như sau: Khi K là điểm giao của hai tiếp tuyến tại B và C, trung điểm I của đoạn BC và điểm O, tâm của đường tròn, nằm trong một mối quan hệ đặc biệt. Cụ thể, OI⋅OK=ON2OI \cdot OK = ON^2OI⋅OK=ON2 là kết quả của định lý cát tuyến kết hợp với định lý tiếp tuyến, liên quan đến các đoạn thẳng từ tâm O đến các điểm trên đường tròn.
Bước 4: Chứng minh ba điểm K, H, N thẳng hàng
Ta đã biết rằng HHH là giao điểm của MNMNMN và AOAOAO, và MN⊥AOMN \perp AOMN⊥AO. Cùng với điều kiện OI⋅OK=ON2OI \cdot OK = ON^2OI⋅OK=ON2, ta có thể chứng minh rằng ba điểm KKK, HHH, và NNN thẳng hàng, vì chúng nằm trên cùng một đường thẳng trong mối quan hệ hình học này.
Vậy ta đã chứng minh OI⋅OK=ON2OI \cdot OK = ON^2OI⋅OK=ON2 và ba điểm KKK, HHH, NNN thẳng hàng.
4o mini
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
8 214674
-
1 59631
-
Hỏi từ APP VIETJACK1 55523
-
Hỏi từ APP VIETJACK10 43621
-
5 42116
-
6 41385
-
Hỏi từ APP VIETJACK1 29069
Bài viết mới nhất Lớp 9
-
2 năm trước4307
-
2 năm trước3765
-
2 năm trước3555
-
2 năm trước3493
