Để chứng minh biểu thức a4+2a3−a2−2aa^4 + 2a^3 - a^2 - 2a chia hết cho 24 với a∈Za \in \mathbb{Z}, chúng ta cần kiểm tra tính chia hết của biểu thức này cho cả 3 và 8 (vì 24=3×824 = 3 \times 8, và 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau).

Bước 1: Phân tích biểu thức
Đặt P(a)=a4+2a3−a2−2aP(a) = a^4 + 2a^3 - a^2 - 2a. Chúng ta cần kiểm tra:

P(a)P(a) chia hết cho 3.
P(a)P(a) chia hết cho 8.

Bước 2: Kiểm tra chia hết cho 3
Xét các số nguyên amod  3a \mod 3. Mọi số nguyên aa có thể là 0,1,0, 1, hoặc 2mod  32 \mod 3.
Tính P(a)mod  3P(a) \mod 3 cho từng trường hợp:Khi a≡0mod  3a \equiv 0 \mod 3: P(a)=04+2⋅03−02−2⋅0=0≡0mod  3.P(a) = 0^4 + 2 \cdot 0^3 - 0^2 - 2 \cdot 0 = 0 \equiv 0 \mod 3.
Khi a≡1mod  3a \equiv 1 \mod 3: P(a)=14+2⋅13−12−2⋅1=1+2−1−2=0≡0mod  3.P(a) = 1^4 + 2 \cdot 1^3 - 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0 \equiv 0 \mod 3.
Khi a≡2mod  3a \equiv 2 \mod 3: P(a)=24+2⋅23−22−2⋅2=16+16−4−4=24≡0mod  3.P(a) = 2^4 + 2 \cdot 2^3 - 2^2 - 2 \cdot 2 = 16 + 16 - 4 - 4 = 24 \equiv 0 \mod 3.
=> Trong cả ba trường hợp, P(a)≡0mod  3P(a) \equiv 0 \mod 3. Vậy P(a)P(a) chia hết cho 3.

Bước 3: Kiểm tra chia hết cho 8
Xét các số nguyên amod  8a \mod 8. Mọi số nguyên aa có thể là 0,1,2,…,7mod  80, 1, 2, \dots, 7 \mod 8.
Tính P(a)mod  8P(a) \mod 8 cho từng trường hợp:Khi a≡0mod  8a \equiv 0 \mod 8: P(a)=04+2⋅03−02−2⋅0=0≡0mod  8.P(a) = 0^4 + 2 \cdot 0^3 - 0^2 - 2 \cdot 0 = 0 \equiv 0 \mod 8.
Khi a≡1mod  8a \equiv 1 \mod 8: P(a)=14+2⋅13−12−2⋅1=1+2−1−2=0≡0mod  8.P(a) = 1^4 + 2 \cdot 1^3 - 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0 \equiv 0 \mod 8.
Khi a≡2mod  8a \equiv 2 \mod 8: P(a)=24+2⋅23−22−2⋅2=16+16−4−4=24≡0mod  8.P(a) = 2^4 + 2 \cdot 2^3 - 2^2 - 2 \cdot 2 = 16 + 16 - 4 - 4 = 24 \equiv 0 \mod 8.
Khi a≡3mod  8a \equiv 3 \mod 8: P(a)=34+2⋅33−32−2⋅3=81+54−9−6=120≡0mod  8.P(a) = 3^4 + 2 \cdot 3^3 - 3^2 - 2 \cdot 3 = 81 + 54 - 9 - 6 = 120 \equiv 0 \mod 8.
Khi a≡4mod  8a \equiv 4 \mod 8: P(a)=44+2⋅43−42−2⋅4=256+128−16−8=360≡0mod  8.P(a) = 4^4 + 2 \cdot 4^3 - 4^2 - 2 \cdot 4 = 256 + 128 - 16 - 8 = 360 \equiv 0 \mod 8.
Khi a≡5mod  8a \equiv 5 \mod 8: P(a)=54+2⋅53−52−2⋅5=625+250−25−10=840≡0mod  8.P(a) = 5^4 + 2 \cdot 5^3 - 5^2 - 2 \cdot 5 = 625 + 250 - 25 - 10 = 840 \equiv 0 \mod 8.
Khi a≡6mod  8a \equiv 6 \mod 8: P(a)=64+2⋅63−62−2⋅6=1296+432−36−12=1680≡0mod  8.P(a) = 6^4 + 2 \cdot 6^3 - 6^2 - 2 \cdot 6 = 1296 + 432 - 36 - 12 = 1680 \equiv 0 \mod 8.
Khi a≡7mod  8a \equiv 7 \mod 8: P(a)=74+2⋅73−72−2⋅7=2401+686−49−14=3024≡0mod  8.P(a) = 7^4 + 2 \cdot 7^3 - 7^2 - 2 \cdot 7 = 2401 + 686 - 49 - 14 = 3024 \equiv 0 \mod 8.
=> Trong tất cả các trường hợp, P(a)≡0mod  8P(a) \equiv 0 \mod 8. Vậy P(a)P(a) chia hết cho 8.

Bước 4: Kết luận
Vì P(a)P(a) chia hết cho cả 3 và 8, nên P(a)P(a) chia hết cho LCM(3,8)=24\text{LCM}(3, 8) = 24.

Kết luận: a4+2a3−a2−2aa^4 + 2a^3 - a^2 - 2a chia hết cho 24 với mọi a∈Za \in \mathbb{Z}.