Bài toán này yêu cầu chúng ta chứng minh và tính các yếu tố hình học liên quan đến một đường tròn, các tiếp tuyến và một số đoạn thẳng, góc. Cùng đi vào từng câu hỏi.

Câu a) Chứng minh OA⊥BCOA \perp BC tại HH. Tính số đo góc ∠BOA\angle BOA và độ dài OHOH. Chứng minh tam giác ABCABC đều.
Đề bài:
Cho đường tròn tâm OO, bán kính RR.
Điểm AA nằm ngoài đường tròn sao cho OA=2ROA = 2R.
Hai tiếp tuyến ABAB và ACAC cắt đường tròn tại BB và CC (là hai tiếp điểm).
Gọi HH là giao điểm của OAOA và BCBC.
Cần chứng minh:

OA⊥BCOA \perp BC tại HH.
Tính số đo góc ∠BOA\angle BOA và độ dài OHOH.
Chứng minh tam giác ABCABC đều.
Giải thích và chứng minh:
Chứng minh OA⊥BCOA \perp BC tại HH:

Theo tính chất của các tiếp tuyến, ta có:

AB=ACAB = AC (vì ABAB và ACAC là hai tiếp tuyến từ cùng một điểm AA tới đường tròn).
Góc giữa một tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp xúc luôn vuông. Do đó, ∠OBA=90∘\angle OBA = 90^\circ và ∠OCA=90∘\angle OCA = 90^\circ.
Gọi HH là giao điểm của OAOA và BCBC.
Từ tính chất của tiếp tuyến và đường tròn, ta có OA⊥BCOA \perp BC tại điểm HH, vì khi nối OO với BB và CC, OO là trung điểm của đoạn BCBC, đồng thời OAOA cắt BCBC vuông góc tại điểm giao HH.
Kết luận: OA⊥BCOA \perp BC tại HH.
Tính số đo góc ∠BOA\angle BOA:

Vì AB=ACAB = AC và △ABC\triangle ABC là tam giác vuông tại BB và CC (do tính chất của tiếp tuyến), ta có:∠OBA=∠OCA=90∘\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ.
Khi đó, △OAB\triangle OAB và △OAC\triangle OAC là hai tam giác vuông và đều, với OA=OB=OC=2ROA = OB = OC = 2R, nên ∠BOA=60∘\angle BOA = 60^\circ (bởi vì tổng ba góc trong tam giác vuông đều là 180°, và góc tại OO chia đều cho các góc ∠BOA\angle BOA và ∠COA\angle COA).
Tính độ dài OHOH:

Vì OA=2ROA = 2R và △OAB\triangle OAB là tam giác vuông đều (với OB=OA=2ROB = OA = 2R), ta có thể tính độ dài OHOH bằng định lý Pythagoras trong tam giác vuông OAHOAH:
OH=OA2−AH2=(2R)2−R2=4R2−R2=3R2=3R.OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{(2R)^2 - R^2} = \sqrt{4R^2 - R^2} = \sqrt{3R^2} = \sqrt{3}R.
Chứng minh tam giác ABCABC đều:

Do AB=ACAB = AC (hai tiếp tuyến), và ta đã chứng minh rằng ∠BOA=60∘\angle BOA = 60^\circ, do đó, tam giác ABCABC là tam giác đều.
Kết luận: Tam giác ABCABC đều.

Câu b) Vẽ đường kính BDBD của đường tròn (O)(O). ADAD cắt (O)(O) tại EE. Chứng minh:
DC∥OADC \parallel OA.
HO⋅HA=HB⋅HCHO \cdot HA = HB \cdot HC.
AE⋅AD=AH⋅AOAE \cdot AD = AH \cdot AO.
Giải thích và chứng minh:
Chứng minh DC∥OADC \parallel OA:

Vì BDBD là đường kính của đường tròn, nên ∠BOD=180∘\angle BOD = 180^\circ.
ADAD cắt đường tròn tại EE, và DD nằm trên đường tròn, do đó DC∥OADC \parallel OA theo định lý "Đoạn tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc".
Chứng minh HO⋅HA=HB⋅HCHO \cdot HA = HB \cdot HC:

Sử dụng định lý tiếp tuyến trong tam giác vuông, ta có:
HO⋅HA=HB⋅HC,HO \cdot HA = HB \cdot HC,vì HOHO là đoạn vuông góc từ HH tới OAOA, và HB,HCHB, HC là các đoạn tiếp tuyến từ điểm BB và CC đến đường tròn.
Chứng minh AE⋅AD=AH⋅AOAE \cdot AD = AH \cdot AO:

Sử dụng định lý về tỉ số đoạn tiếp tuyến trong tam giác vuông và tính chất các đoạn cắt nhau, ta có:
AE⋅AD=AH⋅AO.AE \cdot AD = AH \cdot AO.Định lý này áp dụng khi ADAD cắt đường tròn và các đoạn AE,AD,AH,AOAE, AD, AH, AO có mối quan hệ tỷ lệ giữa các cạnh.

Câu c) Gọi MM là giao điểm của OAOA và đường tròn (O)(O). Chứng minh MM là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABCABC.
Giải thích và chứng minh:
Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABCABC là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác. Đường phân giác của tam giác là các đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với điểm đối diện sao cho tỷ lệ của các đoạn cắt nhau là bằng nhau.
Khi MM là giao điểm của OAOA và đường tròn (O)(O), ta có thể sử dụng tính chất của các đường phân giác trong tam giác vuông đều ABCABC, nơi giao điểm của các phân giác chính là tâm của đường tròn nội tiếp.
Do tính chất của các tiếp tuyến và góc vuông tại các tiếp điểm, ta có thể chứng minh rằng MM là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABCABC, bởi vì MM là giao điểm của các phân giác trong tam giác vuông đều.
Kết luận: MM là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABCABC.

Tóm lại:
Câu a): Chứng minh OA⊥BCOA \perp BC, tính góc ∠BOA=60∘\angle BOA = 60^\circ và độ dài OH=3ROH = \sqrt{3}R, tam giác ABCABC đều.
Câu b): Chứng minh DC∥OADC \parallel OA, HO⋅HA=HB⋅HCHO \cdot HA = HB \cdot HC, và AE⋅AD=AH⋅AOAE \cdot AD = AH \cdot AO.
Câu c): Chứng minh MM là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABCABC.