Thời gian di chuyển:
- Thời gian chèo đò từ \( A \) đến \( M \) là:
\[
t_{\text{chèo đò}} = \frac{x}{4} \quad \text{(vì vận tốc chèo đò là 4 km/h)}.
\]
- Thời gian đi bộ từ \( M \) đến \( C \) là:
\[
t_{\text{đi bộ}} = \frac{BM}{6} = \frac{5 - x}{6} \quad \text{(vì vận tốc đi bộ là 6 km/h)}.
\]

Tổng thời gian di chuyển:
Tổng thời gian \( T(x) \) từ \( A \) đến \( C \) qua \( M \) là:
\[
T(x) = \frac{x}{4} + \frac{5 - x}{6}.
\]

Tìm giá trị của \( x \) sao cho thời gian \( T(x) \) là nhỏ nhất:
Để tìm \( x \) tối ưu, ta tính đạo hàm của \( T(x) \) và tìm giá trị \( x \) tại đó.

Đạo hàm của \( T(x) \) là:
\[
\frac{dT(x)}{dx} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6}.
\]
Tính giá trị:
\[
\frac{dT(x)}{dx} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}.
\]
Đạo hàm này là một hằng số dương, tức là hàm \( T(x) \) tăng lên khi \( x \) tăng. Do đó, thời gian \( T(x) \) giảm khi \( x \) giảm và đạt giá trị nhỏ nhất khi \( x = 0 \).

Với \( x = 0 \), tức là người canh hải đăng chèo đò từ \( A \) đến \( B \), rồi từ \( B \) đi bộ đến \( C \), tổng thời gian di chuyển sẽ là nhỏ nhất.

Vậy, người canh hải đăng phải đi bộ từ \( B \) đến \( C \), và khoảng cách đi bộ là 7 km.