Để giải bài toán này, ta cần tìm số hạng thứ \(n\) của dãy số, biết rằng đó là một **dãy số cấp số nhân (CSN)** với các thông tin sau:

- \(U_1 = 5\) (số hạng đầu tiên),
- \(U_5 = 405\) (số hạng thứ 5),
- Tổng \(S_n = 1820\) (tổng của n số hạng đầu tiên).

- Công thức của một số hạng bất kỳ trong dãy cấp số nhân là:

\[
U_n = U_1 \cdot r^{n-1}
\]

 2. Tìm công sai \(r\):
Ta có thông tin \(U_5 = 405\), vì vậy sử dụng công thức \(U_5 = U_1 \cdot r^{5-1} = U_1 \cdot r^4\):

\[
405 = 5 \cdot r^4
\]

Chia hai vế cho 5:

\[
r^4 = \frac{405}{5} = 81
\]

Giải phương trình \(r^4 = 81\):

\[
r = \sqrt[4]{81} = 3
\]

Vậy công sai \(r = 3\).

Tổng của n số hạng trong một dãy cấp số nhân được tính bằng công thức:

\[
S_n = \frac{U_1 \cdot (1 - r^n)}{1 - r}, \quad \text{với} \quad r \neq 1
\]

Ta thay các giá trị đã biết vào công thức:
- \(S_n = 1820\),
- \(U_1 = 5\),
- \(r = 3\).

\[
1820 = \frac{5 \cdot (1 - 3^n)}{1 - 3}
\]

Vì \(1 - 3 = -2\), ta có:

\[
1820 = \frac{5 \cdot (1 - 3^n)}{-2}
\]

Nhân hai vế với -2:

\[
-3640 = 5 \cdot (1 - 3^n)
\]

Chia hai vế cho 5:

\[
-728 = 1 - 3^n
\]

Chuyển vế:

\[
3^n = 1 + 728 = 729
\]

Giải phương trình \(3^n = 729\):

\[
3^n = 3^6
\]

Vậy \(n = 6\).

Số hạng thứ \(n\) là \(n = 6\).