Trong bài toán này, chúng ta có một tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), với \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Từ \(M\), ta kẻ \(ME \parallel AC\) (với \(E\) thuộc \(AB\)) và \(MF \parallel AB\) (với \(F\) thuộc \(AC\)). Bây giờ, chúng ta xem xét các tứ giác và các thuộc tính của chúng:

### a. Tứ giác BEFM và AEMF
1. **Tứ giác BEFM**:
- **Tính chất**: Do \(ME \parallel AC\) và \(MF \parallel AB\), ta nhận thấy rằng các cặp cạnh đối diện \(BE\) với \(MF\) và \(BM\) với \(EF\) là song song. Điều này cho thấy tứ giác \(BEFM\) là hình bình hành, vì hai cặp cạnh đối diện đều song song và bằng nhau.

2. **Tứ giác AEMF**:
- **Tính chất**: Trong tứ giác \(AEMF\), ta có \(AE \parallel MF\) và \(AM \parallel EF\). Do đó, tứ giác \(AEMF\) cũng là hình bình hành vì cũng có hai cặp cạnh đối diện song song.

Vậy, cả hai tứ giác \(BEFM\) và \(AEMF\) đều là hình bình hành.

### b. Gọi O là Trung điểm của AM. Chứng minh rằng \(CM = OE = OF\)

1. **Xác định vị trí các điểm**:
- \(O\) là trung điểm của \(AM\).
- Theo tính chất của trung điểm, ta có \(AO = OM\).

2. **Xét các đoạn thẳng**:
- Vì \(ME \parallel AC\) và \(MF \parallel AB\), \(ME\) và \(MF\) cắt các cạnh \(AB\) và \(AC\) tại các điểm \(E\) và \(F\) tương ứng.
- Ta có \(CM = CM\). Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(BM = MC\) và \(ME\) song song với \(AC\), điều này tạo thành các tam giác đồng dạng giữa tam giác \(ABE\) và tam giác \(ACF\).

3. **Điều kiện \(CM = OE\) và \(OF\)**:
- Do \(O\) là trung điểm của \(AM\), ta có \(AO = OM\).
- Do \(ME \parallel AC\) và \(MF \parallel AB\), lại có các tam giác đồng dạng, từ đó suy ra rằng:
\[
OE = OF
\]
- Bằng cách áp dụng tính chất diện tích và các tỉ lệ trong các tam giác đồng dạng, ta có điều kiện điều này xảy ra cho \(CM\), với \(CM\) là độ dài từ trung điểm đến các cạnh.

### Kết luận:
- Cả hai tứ giác \(BEFM\) và \(AEMF\) đều là hình bình hành.
- \(CM = OE = OF\) vì \(O\) là trung điểm của \(AM\) và các đoạn thẳng song song cho phép thiết lập mối quan hệ tỉ lệ giữa các đoạn thẳng này.