Để tìm số sản phẩm \( x \) mà xí nghiệp A cần sản xuất để đạt lợi nhuận lớn nhất, ta cần tính lợi nhuận \( H \) và sau đó tìm cực trị của hàm lợi nhuận này.

### 1. **Xác định hàm lợi nhuận \( H \)**

Hàm lợi nhuận được xác định bằng:

\[
H = DT - CP
\]

Thay thế \( DT \) và \( CP \):

\[
H = (-2x^2 + 1312x) - (x^3 - 77x^2 + 1000x + 40000)
\]

### 2. **Đơn giản hóa hàm lợi nhuận \( H \)**

\[
H = -2x^2 + 1312x - (x^3 - 77x^2 + 1000x + 40000)
\]

\[
H = -2x^2 + 1312x - x^3 + 77x^2 - 1000x - 40000
\]

\[
H = -x^3 + (77 - 2)x^2 + (1312 - 1000)x - 40000
\]

\[
H = -x^3 + 75x^2 + 312x - 40000
\]

### 3. **Tìm cực trị của hàm lợi nhuận**

Để tìm cực trị, ta cần tính đạo hàm \( H' \) và đặt nó bằng 0:

\[
H' = -3x^2 + 150x + 312
\]

Đặt \( H' = 0 \):

\[
-3x^2 + 150x + 312 = 0
\]

### 4. **Giải phương trình bậc hai**

Phương trình có dạng:

\[
3x^2 - 150x - 312 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 3 \), \( b = -150 \), \( c = -312 \):

\[
b^2 - 4ac = (-150)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-312)
\]

\[
= 22500 + 3744 = 26244
\]

\[
x = \frac{150 \pm \sqrt{26244}}{6}
\]

Tính \( \sqrt{26244} \):

\[
\sqrt{26244} \approx 162
\]

Do đó:

\[
x = \frac{150 \pm 162}{6}
\]

### 5. **Tính giá trị \( x \)**

\[
x_1 = \frac{312}{6} = 52
\]

\[
x_2 = \frac{-12}{6} = -2 \quad (\text{bỏ qua vì không hợp lý})
\]

### 6. **Kiểm tra điều kiện cực trị**

Để xác định xem \( x = 52 \) là điểm cực đại hay cực tiểu, ta tính đạo hàm bậc hai:

\[
H'' = -6x + 150
\]

Tại \( x = 52 \):

\[
H'' = -6(52) + 150 = -312 + 150 = -162 \quad (\text{âm, nên đây là cực đại})
\]

### Kết luận

Xí nghiệp A đạt lợi nhuận lớn nhất khi sản xuất và bán **52 sản phẩm**.

Để tìm số sản phẩm mà xí nghiệp A cần sản xuất để đạt lợi nhuận lớn nhất, chúng ta cần xác định hàm lợi nhuận từ hàm tổng chi phí và hàm doanh thu.

Lợi nhuận \( L \) được tính bằng cách lấy doanh thu \( DT \) trừ đi chi phí \( CP \):

\[
L(x) = DT(x) - CP(x)
\]

Thay thế các hàm đã cho vào công thức:

\[
DT(x) = -2x^2 + 1312x
\]
\[
CP(x) = x^3 - 77x^2 + 1000x + 40000
\]

Như vậy, hàm lợi nhuận sẽ là:

\[
L(x) = (-2x^2 + 1312x) - (x^3 - 77x^2 + 1000x + 40000)
\]

Giải quyết biểu thức này:

\[
L(x) = -2x^2 + 1312x - x^3 + 77x^2 - 1000x - 40000
\]
\[
= -x^3 + (77 - 2)x^2 + (1312 - 1000)x - 40000
\]
\[
= -x^3 + 75x^2 + 312x - 40000
\]

Để tìm giá trị \( x \) tại đó lợi nhuận đạt cực đại, ta cần tìm đạo hàm của \( L(x) \) và giải phương trình \( L'(x) = 0 \):

\[
L'(x) = -3x^2 + 150x + 312
\]

Giải phương trình bậc hai này:

\[
-3x^2 + 150x + 312 = 0
\]

Chia cả phương trình cho -3 để đơn giản hóa:

\[
x^2 - 50x - 104 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \( a = 1 \), \( b = -50 \), \( c = -104 \):

\[
x = \frac{50 \pm \sqrt{2500 + 416}}{2} = \frac{50 \pm \sqrt{2916}}{2}
\]
\[
= \frac{50 \pm 54}{2}
\]

Ta có hai nghiệm:

1. \( x_1 = \frac{104}{2} = 52 \)
2. \( x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \) (không hợp lệ vì số sản phẩm không thể âm)

Vậy, \( x = 52 \) là số sản phẩm mà xí nghiệp A cần sản xuất để đạt lợi nhuận lớn nhất.

Để xác nhận đây là cực đại, ta có thể kiểm tra dấu của đạo hàm bậc hai \( L''(x) \):

\[
L''(x) = -6x + 150
\]

Tính \( L''(52) \):

\[
L''(52) = -6(52) + 150 = -312 + 150 = -162 < 0
\]

Vì \( L''(52) < 0 \), điều này chứng tỏ rằng hàm lợi nhuận đạt cực đại tại \( x = 52 \).

**Kết luận:** Xí nghiệp A đạt lợi nhuận lớn nhất khi sản xuất và bán **52 sản phẩm**.