Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c} \leq 2
\]

với điều kiện \( abc = \frac{1}{8} \), ta có thể làm theo các bước sau.

### Bước 1: Đặt biến thay thế
Ta đặt \( a = 2^x, b = 2^y, c = 2^z \) với \( x + y + z = 0 \) (vì \( abc = 2^{x+y+z} = \frac{1}{8} = 2^{-3} \), tức là \( x + y + z = -3 \)).

### Bước 2: Chứng minh bằng bất đẳng thức AM-HM
Bất đẳng thức AM-HM (Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình điều hòa) cho ta:

\[
\frac{\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c}}{3} \geq \frac{3}{3 + a + b + c}
\]

Từ đó, ta cần chứng minh:

\[
\frac{3}{3 + a + b + c} \leq \frac{2}{3}
\]

Tức là:

\[
3 + a + b + c \geq \frac{9}{2}
\]

### Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân), ta có:

\[
\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}
\]

Vậy:

\[
a + b + c \geq \frac{3}{2}
\]

Thay giá trị này vào bất đẳng thức, ta có:

\[
3 + a + b + c \geq 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}
\]

### Kết luận
Vậy ta đã chứng minh được:

\[
\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c} \leq 2
\]

...Xem thêm

Answer 2

Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c} \leq 2
\]

với điều kiện \( abc = \frac{1}{8} \), ta có thể làm theo các bước sau.

### Bước 1: Đặt biến thay thế
Ta đặt \( a = 2^x, b = 2^y, c = 2^z \) với \( x + y + z = 0 \) (vì \( abc = 2^{x+y+z} = \frac{1}{8} = 2^{-3} \), tức là \( x + y + z = -3 \)).

### Bước 2: Chứng minh bằng bất đẳng thức AM-HM
Bất đẳng thức AM-HM (Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình điều hòa) cho ta:

\[
\frac{\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c}}{3} \geq \frac{3}{3 + a + b + c}
\]

Từ đó, ta cần chứng minh:

\[
\frac{3}{3 + a + b + c} \leq \frac{2}{3}
\]

Tức là:

\[
3 + a + b + c \geq \frac{9}{2}
\]

### Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân), ta có:

\[
\frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}
\]

Vậy:

\[
a + b + c \geq \frac{3}{2}
\]

Thay giá trị này vào bất đẳng thức, ta có:

\[
3 + a + b + c \geq 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}
\]

### Kết luận
Vậy ta đã chứng minh được:

\[
\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c} \leq 2
\]

1 câu trả lời 253

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9