Để giải bài toán này, ta cần thiết lập mô hình quy hoạch tuyến tính. Gọi:

- \( x \): số kg sản phẩm loại I sản xuất
- \( y \): số kg sản phẩm loại II sản xuất

**Hàm mục tiêu**: Tối đa hóa lợi nhuận:

\[ Z = 40000x + 30000y \]

**Ràng buộc**:

1. **Nguyên liệu**:
\[
2x + 4y \leq 200
\]

2. **Thời gian làm việc**:
\[
30x + 15y \leq 120
\]

3. **Giới hạn không âm**:
\[
x \geq 0, \quad y \geq 0
\]

**Bước 1**: Giải các bất đẳng thức.

- Từ ràng buộc nguyên liệu:
\[
2x + 4y \leq 200 \implies x + 2y \leq 100 \quad (1)
\]

- Từ ràng buộc thời gian:
\[
30x + 15y \leq 120 \implies 2x + y \leq 8 \quad (2)
\]

**Bước 2**: Vẽ đồ thị các bất đẳng thức.

1. Đối với (1): \( y = \frac{100 - x}{2} \)
2. Đối với (2): \( y = 8 - 2x \)

**Bước 3**: Tìm giao điểm của các đường:

- Giải hệ phương trình:
\[
x + 2y = 100 \quad (1)
\]
\[
2x + y = 8 \quad (2)
\]

Từ (2), suy ra \( y = 8 - 2x \).

Thay vào (1):
\[
x + 2(8 - 2x) = 100
\]
\[
x + 16 - 4x = 100
\]
\[
-3x = 84 \implies x = -28 \quad \text{(không hợp lệ)}
\]

Thử các giao điểm khác:

- Khi \( x = 0 \):
\[
y = 50 \quad (từ (1))
\]

- Khi \( y = 0 \):
\[
x = 100 \quad (từ (1))
\]

- Giao điểm (0, 8) từ (2).

- Tìm giao điểm giữa hai đường (1) và (2):
\[
x + 2(8 - 2x) = 100
\]
\[
x + 16 - 4x = 100 \implies -3x = 84 \implies x = 28
\]
Thay vào (2):
\[
y = 8 - 2(28) = 8 - 56 \text{ (không hợp lệ)}
\]

**Bước 4**: Tính toán các giá trị ở các đỉnh khả thi:

- Tại (0, 0): \( Z = 0 \)
- Tại (0, 50): \( Z = 30000 \times 50 = 1500000 \)
- Tại (100, 0): \( Z = 40000 \times 100 = 4000000 \)
- Tại (0, 8): \( Z = 30000 \times 8 = 240000 \)

**Bước 5**: Tìm đỉnh tối ưu.

Giá trị lợi nhuận cao nhất là khi sản xuất \( 100 \) kg sản phẩm loại I và \( 0 \) kg sản phẩm loại II.

**Kết luận**: Xưởng nên sản xuất 100 kg sản phẩm loại I và 0 kg sản phẩm loại II để có mức lợi nhuận cao nhất là 4,000,000 đồng.

Bài toán này có thể được giải bằng cách sử dụng phương pháp **quy hoạch tuyến tính**. Gọi:

- \( x_1 \) là số kg sản phẩm loại I cần sản xuất.
- \( x_2 \) là số kg sản phẩm loại II cần sản xuất.

### Điều kiện ràng buộc:
1. **Nguyên liệu**:
- Sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu cho mỗi kg, tổng nguyên liệu dùng cho loại I là \( 2x_1 \) kg.
- Sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu cho mỗi kg, tổng nguyên liệu dùng cho loại II là \( 4x_2 \) kg.
- Tổng nguyên liệu là 200 kg, do đó:
\[
2x_1 + 4x_2 \leq 200
\]

2. **Giờ làm việc**:
- Sản phẩm loại I cần 30 giờ cho mỗi kg, tổng thời gian làm việc cho loại I là \( 30x_1 \) giờ.
- Sản phẩm loại II cần 15 giờ cho mỗi kg, tổng thời gian làm việc cho loại II là \( 15x_2 \) giờ.
- Tổng số giờ làm việc là 120 giờ, do đó:
\[
30x_1 + 15x_2 \leq 120
\]

3. **Không âm**:
- \( x_1 \geq 0 \)
- \( x_2 \geq 0 \)

### Hàm mục tiêu:
Lợi nhuận cần tối ưu:
- Mỗi kg sản phẩm loại I đem lại lợi nhuận 40,000 đồng, nên lợi nhuận từ loại I là \( 40000x_1 \).
- Mỗi kg sản phẩm loại II đem lại lợi nhuận 30,000 đồng, nên lợi nhuận từ loại II là \( 30000x_2 \).
- Tổng lợi nhuận là:
\[
Z = 40000x_1 + 30000x_2
\]

### Bài toán quy hoạch tuyến tính:
Tối đa hóa:
\[
Z = 40000x_1 + 30000x_2
\]
với các ràng buộc:
\[
2x_1 + 4x_2 \leq 200
\]
\[
30x_1 + 15x_2 \leq 120
\]
\[
x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0
\]

### Giải hệ bất phương trình:

- Ràng buộc 1: \( 2x_1 + 4x_2 \leq 200 \) => \( x_1 + 2x_2 \leq 100 \)
- Ràng buộc 2: \( 30x_1 + 15x_2 \leq 120 \) => \( 2x_1 + x_2 \leq 8 \)

### Phương pháp hình học:
Xét các điểm giao của các đường thẳng:
1. **Điểm 1**: Giao của \( x_1 + 2x_2 = 100 \) và \( 2x_1 + x_2 = 8 \)
2. **Điểm 2**: Giao của các đường với trục tọa độ.

Ta sẽ tìm các điểm giao, sau đó tính giá trị của hàm mục tiêu tại các điểm đó để tìm nghiệm tối ưu.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lập mô hình tối ưu hóa.

Giả sử:
- \(x_1\) là số kg sản phẩm loại I cần sản xuất.
- \(x_2\) là số kg sản phẩm loại II cần sản xuất.

### Hàm mục tiêu:
Chúng ta muốn tối đa hóa mức lợi nhuận:
\[
Z = 40000x_1 + 30000x_2
\]

### Các ràng buộc:
1. Ràng buộc về nguyên liệu:
\[
2x_1 + 4x_2 \leq 200
\]
2. Ràng buộc về thời gian:
\[
30x_1 + 15x_2 \leq 120
\]
3. Ràng buộc không âm:
\[
x_1 \geq 0
\]
\[
x_2 \geq 0
\]

### Bước 1: Chuyển ràng buộc thành dạng chuẩn
Ràng buộc về nguyên liệu:
\[
x_1 + 2x_2 \leq 100 \quad \text{(chia cho 2)}
\]
Ràng buộc về thời gian:
\[
2x_1 + x_2 \leq 8 \quad \text{(chia cho 15)}
\]

### Bước 2: Vẽ đồ thị
Chúng ta sẽ vẽ các đường thẳng tương ứng với hai ràng buộc này trên mặt phẳng tọa độ \(x_1\) và \(x_2\).

1. **Ràng buộc đầu tiên**:
- \(x_1 + 2x_2 = 100\)
- Khi \(x_1 = 0\) thì \(x_2 = 50\)
- Khi \(x_2 = 0\) thì \(x_1 = 100\)

2. **Ràng buộc thứ hai**:
- \(2x_1 + x_2 = 8\)
- Khi \(x_1 = 0\) thì \(x_2 = 8\)
- Khi \(x_2 = 0\) thì \(x_1 = 4\)

### Bước 3: Xác định giao điểm
Chúng ta cần tìm giao điểm của hai đường ràng buộc:
\[
x_1 + 2x_2 = 100
\]
\[
2x_1 + x_2 = 8
\]

Giải hệ phương trình:
1. Từ phương trình thứ hai, ta có \(x_2 = 8 - 2x_1\).
2. Thay vào phương trình thứ nhất:
\[
x_1 + 2(8 - 2x_1) = 100 \\
x_1 + 16 - 4x_1 = 100 \\
-3x_1 = 84 \\
x_1 = -28 \quad \text{(loại)}
\]

Vì phương trình này không có nghiệm dương, nên ta kiểm tra điểm cực biên.

### Bước 4: Kiểm tra các điểm cực biên:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(0, 8)\)
- \(C(4, 0)\)
- \(D(100, 0)\) (không hợp lệ vì vượt ràng buộc)

### Tính lợi nhuận tại các điểm hợp lệ:
1. Tại \(A(0, 0)\): \(Z = 40000(0) + 30000(0) = 0\)
2. Tại \(B(0, 8)\): \(Z = 40000(0) + 30000(8) = 240000\)
3. Tại \(C(4, 0)\): \(Z = 40000(4) + 30000(0) = 160000\)

### Kết luận:
Sản xuất 0 kg sản phẩm loại I và 8 kg sản phẩm loại II sẽ mang lại mức lợi nhuận cao nhất là 240.000 đồng.