Để giải quyết bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

### a) Tính thể tích hộp quà

Thể tích \( V \) của hộp chữ nhật được tính bằng công thức:
\[
V = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} \times \text{chiều cao}
\]
Trong trường hợp này:
- Chiều dài = 11 cm
- Chiều rộng = 6 cm
- Chiều cao = 15 cm

Tính thể tích:
\[
V = 11 \times 6 \times 15
\]
\[
V = 990 \text{ cm}^3
\]

### b) Tính diện tích miếng bìa cần thiết để gấp hộp quà

Diện tích bìa cần thiết để gấp thành hộp chữ nhật được tính bằng tổng diện tích các mặt của hình hộp. Công thức tính diện tích toàn phần \( S \) của hộp chữ nhật là:
\[
S = 2 \times (\text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} + \text{chiều dài} \times \text{chiều cao} + \text{chiều rộng} \times \text{chiều cao})
\]

Áp dụng vào số liệu cụ thể:
\[
S = 2 \times (11 \times 6 + 11 \times 15 + 6 \times 15)
\]
Tính từng phần:
- \( 11 \times 6 = 66 \)
- \( 11 \times 15 = 165 \)
- \( 6 \times 15 = 90 \)

Tổng diện tích các mặt:
\[
S = 2 \times (66 + 165 + 90) = 2 \times 321 = 642 \text{ cm}^2
\]

### Kết luận:
- a) Thể tích hộp quà là **990 cm³**.
- b) Bạn An cần miếng bìa có diện tích **642 cm²** để gấp hộp quà.

Để giải bài toán, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng yêu cầu.

### a) Tính thể tích hộp quà

Thể tích \( V \) của một hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức:
\[
V = \text{Chiều dài} \times \text{Chiều rộng} \times \text{Chiều cao}
\]

Với các kích thước của hộp quà:
- Chiều dài = 11 cm
- Chiều rộng = 6 cm
- Chiều cao = 15 cm

Thay các giá trị vào công thức:
\[
V = 11 \, \text{cm} \times 6 \, \text{cm} \times 15 \, \text{cm}
\]

Tính từng bước:
1. \( 11 \times 6 = 66 \, \text{cm}^2 \)
2. \( 66 \times 15 = 990 \, \text{cm}^3 \)

Vậy thể tích của hộp quà là:
\[
\boxed{990 \, \text{cm}^3}
\]

### b) Tính diện tích cần thiết để gấp hộp quà

Diện tích bề mặt \( S \) của một hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức:
\[
S = 2 \times (\text{Chiều dài} \times \text{Chiều rộng} + \text{Chiều dài} \times \text{Chiều cao} + \text{Chiều rộng} \times \text{Chiều cao})
\]

Áp dụng vào kích thước của hộp:
- Diện tích mặt đáy (chiều dài x chiều rộng) = \( 11 \times 6 = 66 \, \text{cm}^2 \)
- Diện tích mặt bên (chiều dài x chiều cao) = \( 11 \times 15 = 165 \, \text{cm}^2 \)
- Diện tích mặt bên (chiều rộng x chiều cao) = \( 6 \times 15 = 90 \, \text{cm}^2 \)

Thay vào công thức tính diện tích bề mặt:
\[
S = 2 \times (66 + 165 + 90)
\]

Tính tổng các diện tích:
\[
66 + 165 + 90 = 321 \, \text{cm}^2
\]

Sau đó, nhân với 2:
\[
S = 2 \times 321 = 642 \, \text{cm}^2
\]

Vậy An cần một miếng bìa có diện tích là:
\[
\boxed{642 \, \text{cm}^2}
\]