Để phân tích đa thức \( x^8 y^8 + x^4 y^4 + 1 \) thành nhân tử, ta có thể đặt \( z = x^4 y^4 \). Khi đó, đa thức trở thành:

\[
z^2 + z + 1
\]

Bây giờ, chúng ta cần phân tích \( z^2 + z + 1 \). Để làm điều này, ta sử dụng công thức phân tích đa thức bậc hai. Đa thức \( z^2 + z + 1 \) không có nghiệm thực, nhưng có thể được viết dưới dạng:

\[
z^2 + z + 1 = \frac{z^3 - 1}{z - 1} \quad \text{(với } z \neq 1 \text{)}
\]

Tuy nhiên, cách đơn giản hơn là sử dụng công thức phức. Ta có thể viết:

\[
z^2 + z + 1 = \left( z - \omega \right) \left( z - \omega^2 \right)
\]

với \( \omega = e^{2\pi i / 3} \) là nghiệm của phương trình \( z^3 - 1 = 0 \).

Thay lại \( z = x^4 y^4 \):

\[
x^8 y^8 + x^4 y^4 + 1 = \left( x^4 y^4 - \omega \right) \left( x^4 y^4 - \omega^2 \right)
\]

Tuy nhiên, để phân tích rõ hơn trong số thực, ta thấy rằng \( z^2 + z + 1 \) không thể phân tích thành nhân tử trong trường hợp thực.

Vì vậy, kết luận lại, đa thức ban đầu \( x^8 y^8 + x^4 y^4 + 1 \) không thể được phân tích thành nhân tử trong trường hợp số thực.

Nhưng nếu làm việc trong số phức, chúng ta có:

\[
x^8 y^8 + x^4 y^4 + 1 = \left( x^4 y^4 - \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2} \right) \left( x^4 y^4 - \frac{-1 - \sqrt{3} i}{2} \right)
\]

Nếu chỉ yêu cầu phân tích trong số thực, ta kết luận rằng không thể phân tích hơn nữa.

Để phân tích đa thức \( x^8 y^8 + x^4 y^4 + 1 \) thành nhân tử, ta có thể sử dụng biến đổi và nhận diện các biểu thức.

Bước 1: Đặt \( z = x^4 y^4 \). Khi đó, biểu thức trở thành:
\[
z^2 + z + 1
\]

Bước 2: Phân tích \( z^2 + z + 1 \). Đa thức này không có nghiệm thực, nhưng có thể sử dụng công thức nghiệm để viết thành nhân tử trong trường hợp tổng quát.

Đối với đa thức bậc 2, ta có:
\[
z^2 + z + 1 = \left(z - \frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}\right)\left(z - \frac{-1 - \sqrt{-3}}{2}\right)
\]
Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta sẽ không phân tích thành nhân tử với số phức.

Bước 3: Quay lại với biến \( z \):
\[
x^8 y^8 + x^4 y^4 + 1 = z^2 + z + 1
\]

### Kết luận

Đa thức \( x^8 y^8 + x^4 y^4 + 1 \) không thể phân tích thành nhân tử với các hệ số thực. Nếu bạn cần tìm nghiệm của đa thức này, có thể áp dụng các công thức nghiệm phức, nhưng trong trường hợp này, biểu thức không thể được phân tích thành nhân tử đơn giản hơn.