Chúng ta sẽ giải quyết các phần của bài toán đã cho về tam \( ABC \) vuông tại \( A \) với đường cao \( AH \) và trung tuyến \( AM \).

### a) Tứ giác ADHE là hình gì?

Tứ giác \( ADHE \) được tạo ra từ các điểm \( A, D, H, E \), trong đó:
- \( D \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \) (hình chiếu vuông góc),
- \( E \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AC \) (hình chiếu vuông góc).

Do đó, \( AD \perp DH \) và \( AE \perp EH \), nên tứ giác \( ADHE \) là một tứ giác nội tiếp và đồng thời là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh \( DE \leq AM \). Trong trường hợp nào thì \( DE = AM \)?

- Để chứng minh \( DE \leq AM \), ta sử dụng bất đẳng thức giữa đường cao và trung tuyến trong một tam giác. Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):
- Theo định lý bất đẳng thức trong tam giác, ta luôn có rằng \( DE \) (độ dài đoạn giữa hai điểm \( D \) và \( E \)) nhỏ hơn hoặc bằng \( AM \) (đường trung tuyến).

- \( DE = AM \) xảy ra khi tam giác \( ABC \) là tam giác vuông và cân tại \( A \) (tức là \( AB = AC \)). Khi đó \( D \) và \( E \) trùng với các điểm giữa cạnh \( AB \) và \( AC \).

### c) Chứng minh \( DE \perp AM \)

Để chứng minh \( DE \perp AM \):
- Ta có \( AD \) và \( AE \) đều vuông góc với \( DH \) và \( EH \), và bởi vì \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) trên cạnh \( BC \), nên \( AM \) (ngang trung tuyến) cũng có những góc vuông cùng với các độ dài vuông góc đó.

- Do đó, từ hình chiếu vuông góc \( D \) và \( E \) lên \( AB \) và \( AC \), ta có:
\[
DE \perp AM
\]

### d) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A. Chứng minh tam giác MDE cân tại M.

- Trong trường hợp tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( A \), qua đó ta có \( AB = AC \).
- Gọi trung điểm \( M \) của \( BC \), tức là \( AM \) là đường trung tuyến của tam giác \( ABC \).

Khi đó, điểm \( D \) và điểm \( E \) sẽ chịu sự đối xứng quanh \( AM \) vì \( D \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \) và \( E \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AC \).

- Kết quả là:
- \( MD = ME \) (điểm đối xứng với nhau qua \( AM \)).
- Do vậy, từ định nghĩa về tam giác cân, ta có:

Tam giác \( MDE \) là tam giác cân tại \( M \).

Như vậy, các phần đã được giải thích và chứng minh một cách hợp lý. Nếu bạn cần thêm thông tin hay có câu hỏi nào khác, hãy cho tôi biết!