Để phân tích đa thức \( x^3 + 2x - 3 \) thành nhân tử, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tìm nghiệm và phương pháp chia đa thức.

### Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức

Ta có thể thử một số giá trị nguyên để tìm nghiệm.

- Thử \( x = 1 \):
\[
1^3 + 2 \cdot 1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0
\]
Vậy \( x = 1 \) là một nghiệm.

### Bước 2: Chia đa thức

Bây giờ, chúng ta sẽ chia \( x^3 + 2x - 3 \) cho \( x - 1 \) bằng phương pháp chia đa thức.

- **Chia**:
1. Chia \( x^3 \) cho \( x \) được \( x^2 \).
2. Nhân \( x^2 \) với \( x - 1 \) được \( x^3 - x^2 \).
3. Trừ \( (x^3 + 0x^2 + 2x - 3) - (x^3 - x^2) \) ta được \( x^2 + 2x - 3 \).

- **Tiếp tục chia**:
1. Chia \( x^2 \) cho \( x \) được \( x \).
2. Nhân \( x \) với \( x - 1 \) được \( x^2 - x \).
3. Trừ \( (x^2 + 2x - 3) - (x^2 - x) \) ta được \( 3x - 3 \).

- **Cuối cùng**:
1. Chia \( 3x \) cho \( x \) được \( 3 \).
2. Nhân \( 3 \) với \( x - 1 \) được \( 3x - 3 \).
3. Trừ \( (3x - 3) - (3x - 3) \) ta được \( 0 \).

### Bước 3: Kết quả phân tích

Vậy ta có:
\[
x^3 + 2x - 3 = (x - 1)(x^2 + x + 3)
\]

### Bước 4: Kiểm tra

Để kiểm tra, ta có thể nhân lại:
\[
(x - 1)(x^2 + x + 3) = x^3 + x^2 + 3x - x^2 - x - 3 = x^3 + 2x - 3
\]

### Kết luận

Phân tích đa thức \( x^3 + 2x - 3 \) thành nhân tử được thực hiện thành công như sau:
\[
x^3 + 2x - 3 = (x - 1)(x^2 + x + 3)
\]

Để phân tích đa thức \(x^3 + 2x - 3\) thành nhân tử, ta sẽ tìm nghiệm của đa thức này. Một trong những cách tìm nghiệm là sử dụng định lý nghiệm, cho phép kiểm tra các số nguyên như \( \pm 1, \pm 2, \pm 3\).

### Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức

Thử \(x = 1\):
\[
1^3 + 2 \cdot 1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0
\]
Vậy \(x = 1\) là một nghiệm của đa thức.

### Bước 2: Phân tích đa thức bằng cách chia

Bây giờ ta có thể chia \(x^3 + 2x - 3\) cho \(x - 1\) để tìm phần đa thức còn lại. Sử dụng phép chia đa thức:

1. Chia \(x^3\) cho \(x\) được \(x^2\).
2. Nhân \(x^2\) với \(x - 1\) được \(x^3 - x^2\).
3. Trừ đi, ta được:
\[
(x^3 + 2x - 3) - (x^3 - x^2) = x^2 + 2x - 3
\]
4. Tiếp tục chia \(x^2\) cho \(x\) được \(x\).
5. Nhân \(x\) với \(x - 1\) được \(x^2 - x\).
6. Trừ đi, ta được:
\[
(x^2 + 2x - 3) - (x^2 - x) = 3x - 3
\]
7. Cuối cùng chia \(3x\) cho \(x\) được \(3\).
8. Nhân \(3\) với \(x - 1\) được \(3x - 3\).
9. Trừ đi, ta được:
\[
(3x - 3) - (3x - 3) = 0
\]

### Bước 3: Viết lại đa thức

Vậy ta có:
\[
x^3 + 2x - 3 = (x - 1)(x^2 + x + 3)
\]

### Bước 4: Kiểm tra tính khả thi của \(x^2 + x + 3\)

Tiếp theo, kiểm tra đa thức \(x^2 + x + 3\) xem nó có thể phân tích thêm không. Tính delta:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11
\]
Vì \(\Delta < 0\), nên \(x^2 + x + 3\) không có nghiệm thực và không thể phân tích thêm.

### Kết luận

Đa thức \(x^3 + 2x - 3\) có thể phân tích thành nhân tử như sau:
\[
\boxed{(x - 1)(x^2 + x + 3)}
\]