Để tính giá trị của biểu thức \( M = x^4 - y^3 \) với điều kiện \( x - y = 4 \) và \( x^2 + y^2 = 36 \), ta làm như sau:

### Bước 1: Tìm \( x \) và \( y \)

Từ phương trình \( x - y = 4 \), ta có:
\[
x = y + 4
\]

### Bước 2: Thay vào phương trình thứ hai

Thay \( x \) vào \( x^2 + y^2 = 36 \):
\[
(y + 4)^2 + y^2 = 36
\]

### Bước 3: Giải phương trình

Mở rộng phương trình:
\[
y^2 + 8y + 16 + y^2 = 36
\]
\[
2y^2 + 8y + 16 - 36 = 0
\]
\[
2y^2 + 8y - 20 = 0
\]
Chia hết cả phương trình cho 2:
\[
y^2 + 4y - 10 = 0
\]

### Bước 4: Tính nghiệm của phương trình

Sử dụng công thức nghiệm:
\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
= \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -2 \pm \sqrt{14}
\]

### Bước 5: Tính \( x \)

Từ \( y \):
- \( y_1 = -2 + \sqrt{14} \)
- \( y_2 = -2 - \sqrt{14} \)

Tính \( x \) với \( x = y + 4 \):
- \( x_1 = (-2 + \sqrt{14}) + 4 = 2 + \sqrt{14} \)
- \( x_2 = (-2 - \sqrt{14}) + 4 = 2 - \sqrt{14} \)

### Bước 6: Tính \( M = x^4 - y^3 \)

Chọn \( x = 2 + \sqrt{14} \) và \( y = -2 + \sqrt{14} \).

#### Tính \( y^3 \):

\[
y^3 = (-2 + \sqrt{14})^3
\]
Sử dụng hằng đẳng thức hoặc tính trực tiếp:
\[
= (-2)^3 + 3(-2)^2(\sqrt{14}) + 3(-2)(14) + (\sqrt{14})^3
\]
\[
= -8 + 12\sqrt{14} - 42 + 14\sqrt{14} = -50 + 26\sqrt{14}
\]

#### Tính \( x^4 \):

\[
x^4 = (2 + \sqrt{14})^4
\]
Sử dụng hằng đẳng thức:
\[
= 16 + 4 \cdot 8\sqrt{14} + 4 \cdot 14 + 14^2
\]
\[
= 16 + 32\sqrt{14} + 56 + 196 = 268 + 32\sqrt{14}
\]

### Bước 7: Tính giá trị \( M \)

\[
M = x^4 - y^3 = (268 + 32\sqrt{14}) - (-50 + 26\sqrt{14})
\]
\[
= 268 + 32\sqrt{14} + 50 - 26\sqrt{14} = 318 + 6\sqrt{14}
\]

### Kết luận

Giá trị của biểu thức \( M = 318 + 6\sqrt{14} \).

Chúng ta có hai phương trình:

1. \( x - y = 4 \) (1)
2. \( x^2 + y^2 = 36 \) (2)

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \( x \) theo \( y \):

\[
x = y + 4
\]

Bây giờ, chúng ta thay \( x \) vào phương trình (2):

\[
(y + 4)^2 + y^2 = 36
\]

Mở rộng phương trình:

\[
(y^2 + 8y + 16) + y^2 = 36
\]

Kết hợp các hạng tử:

\[
2y^2 + 8y + 16 = 36
\]

Giải phương trình bằng cách đưa tất cả về một phía:

\[
2y^2 + 8y + 16 - 36 = 0 \implies 2y^2 + 8y - 20 = 0
\]

Chia tất cả các hạng tử cho 2:

\[
y^2 + 4y - 10 = 0
\]

Để giải phương trình bậc hai này, áp dụng công thức nghiệm:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 1, b = 4, c = -10 \):

\[
y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 40}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -2 \pm \sqrt{14}
\]

Vậy, chúng ta có hai giá trị cho \( y \):

1. \( y_1 = -2 + \sqrt{14} \)
2. \( y_2 = -2 - \sqrt{14} \)

Sử dụng phương trình \( x = y + 4 \), ta tính \( x \):

1. Với \( y_1 \):

\[
x_1 = (-2 + \sqrt{14}) + 4 = 2 + \sqrt{14}
\]

2. Với \( y_2 \):

\[
x_2 = (-2 - \sqrt{14}) + 4 = 2 - \sqrt{14}
\]

Bây giờ, chúng ta tính giá trị của biểu thức \( M = x^4 - y^3 \).

**Trước tiên, tính \( M \) cho cặp giá trị \( (x_1, y_1) \):**

**1. Tính \( x_1^4 \):**

\[
x_1 = 2 + \sqrt{14}
\]

Tính \( x_1^2 \):
\[
x_1^2 = (2 + \sqrt{14})^2 = 4 + 4\sqrt{14} + 14 = 18 + 4\sqrt{14}
\]

Tính \( x_1^4 \):
\[
x_1^4 = (x_1^2)^2 = (18 + 4\sqrt{14})^2 = 324 + 144\sqrt{14} + 224 = 548 + 144\sqrt{14}
\]

**2. Tính \( y_1^3 \):**

\[
y_1 = -2 + \sqrt{14}
\]

Tính \( y_1^3 \) (sử dụng \( a + b = x, ab = y \)):
\[
y^3 = y \cdot y^2 = y \cdot ((-2 + \sqrt{14})^2)
\]

Tính \( y_1^2 \):
\[
y_1^2 = (-2 + \sqrt{14})^2 = 4 - 4\sqrt{14} + 14 = 18 - 4\sqrt{14}
\]

Tính \( y_1^3 \):
\[
y_1^3 = (-2 + \sqrt{14})(18 - 4\sqrt{14}) = -36 + 8\sqrt{14} + \sqrt{14}\cdot 18 - 14
\]
\[
= -50 + 26\sqrt{14}
\]

Bây giờ, tính \( M \):
\[
M = x_1^4 - y_1^3 = (548 + 144\sqrt{14}) - (-50 + 26\sqrt{14})
\]
\[
= 548 + 144\sqrt{14} + 50 - 26\sqrt{14}
\]
\[
= 598 + 118\sqrt{14}
\]

**Kết luận:**
Giá trị của biểu thức \( M = x^4 - y^3 \) là \( 598 + 118\sqrt{14} \).