Để tìm các khoảng đơn điệu và các cực trị của hàm số \( y = x^2 \ln x \), chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Tính đạo hàm**:
\[
y' = \frac{d}{dx}(x^2 \ln x) = 2x \ln x + x
\]

Áp dụng quy tắc tích và đạo hàm của hàm logarit.

2. **Xác định các điểm cực trị**:
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \):
\[
2x \ln x + x = 0
\]
\[
x(2 \ln x + 1) = 0
\]
Từ đây, \( x = 0 \) (không hợp lệ vì \(\ln 0\) không xác định) và:
\[
2 \ln x + 1 = 0 \implies \ln x = -\frac{1}{2} \implies x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}
\]

3. **Xét dấu của đạo hàm**:
Ta xét các khoảng để xác định tính đơn điệu của hàm số:
- Với \( x < \frac{1}{\sqrt{e}} \):
- \( \ln x < -\frac{1}{2} \) nên \( 2 \ln x + 1 < 0 \) và \( y' < 0 \) (hàm giảm).
- Với \( x > \frac{1}{\sqrt{e}} \):
- \( \ln x > -\frac{1}{2} \) nên \( 2 \ln x + 1 > 0 \) và \( y' > 0 \) (hàm tăng).

4. **Tóm tắt**:
- Hàm số \( y = x^2 \ln x \) có cực tiểu tại \( x = \frac{1}{\sqrt{e}} \).
- Khoảng đơn điệu:
- Hàm giảm trên \( (0, \frac{1}{\sqrt{e}}) \)
- Hàm tăng trên \( (\frac{1}{\sqrt{e}}, +\infty) \)

Vậy hàm số có cực trị tại \( x = \frac{1}{\sqrt{e}} \) với cực tiểu tại điểm này và các khoảng đơn điệu như trên.