Để chứng minh các tính chất trong hình thang \(ABCD\) với các thông tin đã cho, ta sẽ tiến hành các bước sau:

### Các dữ kiện cho trước:
- \(AB \parallel CD\)
- \(M\) là trung điểm của \(BC\)
- \(AB = 3\) cm, \(CD = 11\) cm, \(AD = 14\) cm
- Tia \(AM\) cắt \(AB\) tại điểm \(E\)

### a) Chứng minh \(AD = AE\)

Ta có \(AB \parallel CD\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\). Theo định lý đường trung bình, chiều dài đường trung bình \(MN = \frac{AB + CD}{2} = \frac{3 + 11}{2} = 7\) cm sẽ song song với hai đáy và bằng với độ dài giữa hai đáy.

Trong tam giác \(ABD\), theo định lý phân đoạn tỉ lệ:

\[
\frac{AB}{AE} = \frac{AM}{AD}
\]

Do \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(AM\) chia \(BD\) thành hai đoạn bằng nhau.

Từ đó, ta có thể suy ra rằng:

\[
AE = \frac{AB \cdot AD}{AM} = \frac{3 \cdot 14}{7} = 6\,cm
\]

Nhưng \(AD\) không bằng \(AE\), do đó ta cần một cách chứng minh khác.

### b) Chứng minh \(M\) là tia phân giác của góc \(DAB\)

Theo định nghĩa, nếu \(M\) là trung điểm của \(BC\), thì:

- \(AM\) chia đoạn \(BD\) thành hai đoạn bằng nhau, tức là \(BM = MC\).
- Vì \(AB \parallel CD\) và \(M\) nằm trên \(BC\), suy ra tam giác \(ABM\) và tam giác \(CDM\) là đồng dạng.

Do đó, theo tính chất của tia phân giác, ta có:

\[
\frac{AB}{AD} = \frac{BM}{DM}
\]

Chứng minh \(M\) là tia phân giác của góc \(DAB\).

### c) Chứng minh \(M\) vuông góc với \(AM\)

Vì hình thang \(ABCD\) là hình chữ nhật, các đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(M\).

Tam giác \(ABM\) và \(CDM\) có \(AB \parallel CD\). Điều này có nghĩa là góc \(ABE\) và góc \(EDC\) là góc so le trong.

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên đường trung bình của hình thang cũng là đường phân giác của \(BAD\), nên góc \(DAB = 90^\circ\).

Kết luận, ta có:

1. \(AD = AE\) không chính xác.
2. \(M\) là tia phân giác của góc \(DAB\).
3. \(M\) vuông góc với \(AM\).

Vì vậy, một số giả thiết cần được xem xét lại trong mối tương quan giữa các đoạn thẳng.