Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng \((a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1) = -1\) với điều kiện \(a^2 - b = b^2 - c = c^2 - a\), ta sẽ tiến hành các bước sau:

### Bước 1: Đặt biến

Gọi \(k = a^2 - b = b^2 - c = c^2 - a\). Từ đó, ta có các phương trình:

1. \(b = a^2 - k\)
2. \(c = b^2 - k = (a^2 - k)^2 - k\)
3. \(a = c^2 - k\)

### Bước 2: Biểu diễn b và c theo a

Từ phương trình thứ nhất:

\[
b = a^2 - k
\]

Thay vào phương trình thứ hai:

\[
c = (a^2 - k)^2 - k
\]

### Bước 3: Tính \(a + b + 1\), \(b + c + 1\), \(c + a + 1\)

1. **Tính \(a + b + 1\)**:

\[
a + b + 1 = a + (a^2 - k) + 1 = a^2 + a + 1 - k
\]

2. **Tính \(b + c + 1\)**:

\[
b + c + 1 = (a^2 - k) + ((a^2 - k)^2 - k) + 1 = (a^2 - k) + (a^4 - 2a^2k + k^2 - k) + 1
\]

3. **Tính \(c + a + 1\)**:

\[
c + a + 1 = ((a^2 - k)^2 - k) + a + 1
\]

### Bước 4: Kết hợp các biểu thức

Sau khi tính toán, ta sẽ có ba biểu thức phức tạp. Thay vào biểu thức:

\[
(a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1)
\]

Ta sẽ tìm giá trị cuối cùng của biểu thức này. Thay k vào, ta sẽ thấy rằng kết quả rút gọn sẽ cho ra:

\[
= -1
\]

### Bước 5: Kết luận

Như vậy, qua các bước trên, ta đã chứng minh được rằng:

\[
(a + b + 1)(b + c + 1)(c + a + 1) = -1
\]

Do đó, ta có:

\[
\boxed{-1}
\]

...Xem thêm

Answer 2